怎么推导或证明 e^x 的导数是自身？ 第1页

这个取决于 的定义方式，在其中一些定义方式【1】下， 的导函数是其自身是一个平凡的结论，无需证明.

我想，你想要问的并不是这个.

那么首先，定义 ，这个没有任何疑问，是 最常见的定义方式之一【2】

再用幂级数定义实函数

显然可得其收敛半径为 ，也即在 上收敛

则 一定是 上的连续函数，并且逐项无限次可微

（实际上更进一步可证明 是实解析函数）

并且有

，

这里的关键在于避免出现循环论证，即不借助 这一结论，直接证明

我提供一种方法：

引理1

对一切实数 ，

证：

由d'Alembert比值判别法可得幂级数 对一切 都绝对收敛

那么 与 的Cauchy卷积

由引理1

并且对任意

取

可得 （ ）

令 为正有理数，其中

则

那么

（ 为正有理数）

由

显然可得

则对一切有理数 ，

引理2

设函数 是 上的连续函数，又在所有有理点上有 ，

则 对一切 恒成立.

证：

对任意无理数 ，取有理数列

使得

由于 ，

在点 连续

由Heine归结原则

和 均在 上连续，且在一切有理点上， 均成立

由引理2， 在 上恒成立

这样就证明了

Q.E.D.

注：

【1】例如可以把 定义为使得 成立的那个实数 ，这当然也是一种可行的等价定义，这种定义下， 的导函数是其自身则是一个平凡的结论，无需证明

【2】 的另一种最常见的定义方式就是将之定义为 ，它与 这个定义的等价性，一般随便一本数学分析或者微积分的教材里都有叙述，这里不再赘述

还有一些其他的定义方式，彼此之间都是等价的，不多谈