如何判断下面这个级数的敛散性？ 第1页
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这题可以用初等方法做。需要一些技巧。
其中 。可以看出，如果我们能证明对充分大的 有 ，上面不等式右边的前两项就发散（调和级数），最后一项有界，所以原级数发散。所以我们用反证法，假设存在任意大的 使得 。
那项容易估计：
。因此我们知道，存在 使得 （当 ）。
要估计这项，可以先平方，再用上面的方法估计：
其中 ， ， 是最接近 的整数。
设 ，那么
由不等式 ，有 ，所以 （当 ）。由 的定义，如果把区间 等分为 段，那么一定有一段里有两个整数 使得 ，并且 都不小于 ，其中 是 离最接近 的整数的距离。所以 和 都不大于 。这样就有 和 （当 ）。令 ，我们得到存在整数 使得 ，这与 是无理数矛盾。
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