为什么能够研究高维几何? 第1页

很好的问题，为什么匿名提问呢？

简单的回答：自然科学特别是物理学构建数学模型的需要。

从某种意义上说，维数可以理解成自由度。举个最简单的例子，一个质点在三维空间中有三个自由度来确定它的位置，这也是我们平时对三维空间的理解。如果你学过解析几何（或者高中的立体几何）就知道我们可以建立坐标系通过一个三维数组（x,y,z）来描述这个点的位置。但我们如果想知道质点的下一时刻在什么地方我们还需要知道它的速度，这又需要一个三维数组（u,v,w）。由牛顿定律可知，有了这个六维数组(x,y,z,u,v,w)，我们可以知道质点在任意时刻的位置。也就是说质点的运动被这个六维数组完全决定。我们凭经验知道三维数组和三维空间是一样的，那么为了方便想像及计算我们可以假定六维数组对应了一个六维空间。高维空间都是从数组推广来的。

为什么这样会方便呢？举个栗子，最火的三体问题，放到三维空间看就是一团混沌。但三个质点对应18维数组，三个受力平衡方程去掉9个自由度。把三体看成一个18维空间的点，它的位置就是由18个变量，9个方程组成的方程组的解。这个解还剩9个自由度，我们把解集看成18维空间内的一个9维几何体。注意，这只是为了计算简便而做的新定义，并不是说真实存在着这么高维数的空间。

同时，这其实也解释了为什么数学一开始要研究高维空间——就是为了研究方程组解集是什么样子的。高维空间并没有看得见摸得着的意义。

回答到这里其实已经结束了，但历史考据癖发作，想谈一下为什么这是一个好问题。

历史上很多人都思考过这个问题。从已知文献上看，最早提到维数这个概念的是公元前4世纪的亚里士多德的《on the heavens》。其后很长一段时间里，大家都认为研究比三维更高的维数是没有意义的，甚至研究一个数的4次方都是没有意义的。因为平方是面积，立方是体积，4次方是什么呢？目前可见的最早用到四次方的是3世纪的丢番图。但极长的一段时间内，大家并没有把高次方与几何对应起来，甚至高次方作为数学概念都不容易被人接受。John Wallis (1616-1703) 有句很有趣的话：一个量的幂次超过三就像

"monster in nature, less possible than a Chimara or Centaure."

最早在物理中用到四维几何的是Lagrange(1736-1813) 和 d'Alembert(1717-1783)。后来很多数学家打破了思想的限制，考虑到 3 和4 并不是特殊的自然数，问题中形式上把维数中的3和4换成一般的n 一般都是对的，从此数学上就开始了在n维空间中的狂奔（管它有什么意义呢）。

综上，历史上高维空间概念的出现并不自然。目前广义相对论已经把我们生活所在解释为四维时空，而高于四维的东西实际上只存在于数学中。而且即使在数学中4维也是一个特殊的存在：比如说1-3维拓扑流形只有一种微分结构，高于4维的紧拓扑流形有有限种光滑结构，而4维流形，即使是4维平直欧几里德空间都有无穷多种微分结构（高于4维的平直空间只有一种）；比如说高于4维的球面可以翻转。。。。

（部分历史考据摘自 homepage of Thomas Banchoff）