为什么说杨振宁最高成就是杨-米尔斯理论？这种未被证实的猜想为什么说是他最伟大的成果呢？ 第1页

杨幂理论不是猜想

杨-米尔斯（Yang-Mills）理论，是现代规范场理论的基础，20世纪下半叶重要的物理突破，旨在使用非阿贝尔李群描述基本粒子的行为，是由物理学家杨振宁和米尔斯在1954年首先提出来的。这个当时没有被物理学界看重的理论，通过后来许多学者于1960到1970年代引入的对称性自发破缺与渐进自由的观念，发展成今天的标准模型。这一理论中出现的杨－米尔斯方程是一组数学上未曾考虑到的极有意义的非线性偏微分方程。

它起源于对电磁相互作用的分析，利用它所建立的弱相互作用和电磁相互作用的统一理论，已经为实验所证实，特别是这理论所预言的传播弱相互作用的中间玻色子，已经在实验中发现。杨－米尔斯理论又为研究强子（参与强相互作用的基本粒子）的结构提供了有力的工具。在某种意义上说，引力场也是一种规范场。所以这一理论在物理中的作用非常重要。

数学家注意到杨－米尔斯场中的规范势恰是数学家深入研究过的纤维丛上的联络。1975年以来数学家对杨－米尔斯方程进行了许多深入的研究，尤其各类型数值解，这些研究对于纯粹数学的发展，也起了推动作用。

纤维丛是拓扑乘积的推广，产生于微分几何研究，系统研究始于20世纪30年代。1936年瑞士数学家施蒂费尔考虑以微分流形的每一点为原点的有限个线性独立向量场，引入流形的微分同胚不变量。1937年美国数学家惠特尼把流形及以其上每一点为原点的线性独立的切向量组全体总括在一起而得到纤维丛的概念。他还证明了微分流形的嵌入定理，正式创立微分拓扑学。1946年陈省身认识到E.嘉当的联络的几何学思想与纤维丛理论有密切关系，从而把微分几何推进到大范围的情形。20世纪50年代初，法国数学家塞尔在É.嘉当的指导下，在代数拓扑学方面做出重要贡献。他发展了纤维丛概念，得出一般纤维空间概念。1951年美国数学家斯廷罗德出版《纤维丛的拓扑》一书，系统总结了纤维丛理论。纤维丛的截面的存在性问题与阻碍理论有关，由此得到底空间的某些上同调类，称之为示性类。施蒂费尔、惠特尼、陈省身和原苏联数学家庞特里亚金、中国数学家吴文俊都在示性类研究中做出重要贡献。近几十年来纤维丛理论在示性类、纤维丛上的同调与同伦等方面继续获得发展，并在微分几何学、代数几何学、复变函数与复流形理论以及大范围分析学等方面有广泛而深刻的应用，还成为物理学中表达规范场的合适的数学语言。

基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

杨振宁和Mills的论文，从数学观点讲，是从描述电磁学的阿贝尔规范场论到非阿贝尔规范场论的推广。

非阿贝尔规范场是为了描述原子核里的核子们(当时认为就是质子和中子)为什么会被紧紧拉在一起，而不会被正电之间强烈的排斥力而炸开(质子们带正电，是互相排斥的)，而设想的一种作用力场。

电磁力是由电磁场传播的。电荷及其运动所形成的电流产生了电磁场，场传出去后可以作用在远处电荷和电流上。于是，杨振宁和Mills也设想了一种类似电磁场的别的场来传递核力，那就是非阿贝尔规范场。

这个设想看似容易，其实很难。最重要的是，杨振宁和Mills此时极大地推广了场和荷的含义。他们设想了一种更为复杂的荷(当然不能再叫电荷了)和它们所产生的场：这些荷和场都不是普通的实数能表示的，它们是一些矩阵。矩阵的乘法是不能交换的，这种乘法的不交换性叫“非阿贝尔”的。因此也叫非阿贝尔规范场。对那些学过物理的人应该说明的是：学过量子力学的人知道，量子理论里力学变量可以表示成矩阵。但这里说的场和荷表示成矩阵不是由于量子化的结果，而是在经典物理的意义上它们就是矩阵。

杨-Mills的那篇文章是1954年发表的。那时这个理论中还有几个关键的问题不能解决（比如质量问题，量子化和重整化之类，这是些更为专业的名词，只有研究这个方向的理论物理博士们才学的）。而且在随后的六十年代，物理学界对于用场的观点描述核力是较为悲观的，那时别的观点在物理学家中占主流。

不过后来，经过几位物理学家近二十年左右的持续探索，解决了所有原来不能解决的问题。而且，后来找到了别的不同的荷（当时还不知道呢）分别能产生强力和弱力（核力就分这两种力）。但它们用的数学形式都是类似的，都是杨-Mills理论。不同的是其中矩阵的大小不一样：有2乘2的、有3乘3的；如果所用的矩阵是1乘1的，那它就是以前的法拉第和麦克斯韦的电磁理论。到了七十年代末，就知道自然界的所有基本作用力--引力，电磁力，弱力，强力中，除引力外的其它三种力都能用杨-Mills场描述。 这就是可以看出这个理论对物理学的影响有多大了。

补充：群的表示是表示论最初的结果，也是相对而言最完整的理论，最初量子力学里对夸克的分类就是通过群SU(3)只有三个不同的不可约三维表示得到的，这也是表示论最初的动机和起源。有限群的表示是有完全分类的，结果也很漂亮。

李群也是群的一部分，并且因为有拓扑结构，有限群的结果可以扩展到紧李群。李群在单位元处的切空间定义了李代数，李代数也是研究非交换代数，非交换几何的重要手段之一（李代数研究的就是交换子，交换子不为零等价于非交换）。因此李理论在表示论中，以及在整个数学中，也很重要。多说一句，李代数的理论对有限维半单李代数有比较好的结果。

然后说结合代数，学过抽象代数的话会知道，结合代数比环只多了数乘结构，而在有加法的情况下数乘是很容易定义的，因此结合代数的表示几乎等价于环上的模，模论在抽象代数中的重要性大家懂的，因此结合代数的表示论也就很重要。另外群代数是结合代数的一种，因此群表示可以算是囊括在结合代数表示里的，不过群表示有更简便的研究方法，所以一般也不会用quiver去研究群表示。

以上是很基础的表示论框架，如果要读这个方向的研究生的话，以上相关知识应该在研究生第一二年内甚至更早完全掌握，而后才能接触比较新的研究。

所谓几何表示论就是用几何手段研究表示论问题：把某些对象上的表示等价于某几何对象的同调上同调或者K-理论。

1. Springer theory

有个很重要的研究对象叫（n维）flag variety设为F，考虑G=GL(n)在其上的作用，得到一个homogenous space，F=G/B，B是Borel subgroup。另一方面，取定G对应的李代数g里的一个Borel subalgbra，b，考虑G在g上的adjoint action，可以得到F同构于g的所有Borel subalgbras组成的variety（按照定义是Grassmannian的一个subvariety）。取N为g中所有幂零元，N'为N*F的子集，其中元素（x,b）满足x属于b。神奇的事情来了：Steinberg variety上的homology同构于g的Weyl group的群代数。于是Weyl group的表示论就被放到几何中了。

2. D-modules

根据Etingof的课，D-modules最初出现的动机是纯分析问题，关于函数的解析延拓，后来发现这种问题可以转化成纯代数问题，考虑某个variety上所有differential operators组成的algebra/ring上的模论，也就是其表示论。事实上每个D-module都是某个微分方程（组）的所有解组成的，所以D-modules的理论跟微分方程有一定联系。

3. Hall algebras

这个是把quivers和Lie algebras联系起来的一个理论，了解quivers和Lie algebras的话会知道二者的分类都是用Dynkin diagrams，那么同一个Dynkin diagram对应的quiver的loop algebra和李代数之间也应该有联系。

Ringel对给定quiver构造了Hall algebra，并且证明了其同构于对应李代数（的Borel subalgebra）的量子群。而后Lusztig用perverse sheaves定义了Hall category，是Hall algebra的（弱）范畴化，也是著名的Lusztig’s geometric construction of canonical bases（据Zelevinsky和Fomin说这是他们定义cluster algebra的最初动机）。

4. Nakajima quiver varieties

这是从quiver构造李代数的另一种方式（构造过程用到了同调），比Hall algebra更神奇的是这种方式还给出了李代数的最高权表示的构造。这是Nakajima最初定义这个东西的动机，后来大家发现这个东西神奇之处远非如此而已。很多做几何的人也很关心symplectic resolutions的性质，所以Nakajima quiver varieties的研究现在很热门。

5. categorification

把一个代数进行范畴化有两种方式：a.构造一个范畴，然后该范畴的K理论是原来的代数； sheaf-to-function correspondence。方式a适用范围更广，方式b更容易构造，但是如果方式b适用，应该跟a得到等价的范畴。

其中比较特别的一类，是李代数表示的范畴化，也叫categorical Kac-Moody action，除了上面说的之外还有其他条件要满足，好处是可以引入Hecke algebra及其表示，进而利用相关的结果。查看图片http://b.Grothendieck

杨米尔斯理论是个底层框架，在数学上严格成立的。而且它不是模型，不涉及物理上的假设，所以不存在是否被实验证实的问题。换句话说，杨米尔斯理论是一种盾构机，各种模型是这个盾构机挖出的隧道，这些隧道能不能通向我们想去的地方与盾构机无关。有些隧道（电弱理论、量子色动力学）通向了我们想去的地方，但是有些隧道（SU(5)大统一等）现在看来可能走不通。虽然盾构机并不能告诉我们隧道朝哪个方向挖可以成功，挖隧道的方法也不只盾构机一种，但至少有这个工具在我们就多了一种挖隧道的方法。历史也表明，许多顶级的隧道工程师（格拉肖、温伯格、盖尔曼等）利用这种盾构机和其他的一些工具建成了非常宏伟且实用的隧道，这就足够彰显杨米尔斯理论的伟大之处了。

“Yang-Mills理论被实验证实”或者“Yang-Mills理论未被实验证实”都是“not even wrong”，根本不“make sense”的说法。Yang-Mills理论只是个框架，不是有关现实世界的模型，其中不包含有关现实世界的猜想或论断。有关现实世界的那个叫“标准模型”。