这道极限难题怎么解? 第1页
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li-xiang-1-48 网友的相关建议:
这个问题和分拆(partition)问题高度相关。
我们考虑把正整数 分成若干个不同的奇数的和的问题，设这种分拆的个数是 ,且补充 则 的母函数是 也就是说，
那么，如何计算 呢？其实，最经典的分拆问题是无限制分拆问题：把 分拆成若干个正整数的和，不计顺序，有多少种分法？设这种分拆的个数是 则有
我们有如下所谓五边形数定理：
代入即得 的一个递推公式，因此可以快速求出
由于
也是容易计算的。
要具体知道这个无穷乘积表示的是什么样的函数，我们需要有一些模形式相关的知识。具体来说，若 则
称为Dedekind 函数，它是一个半整权模形式，它的24次方是一个权为12的模形式，称为 函数:
其中 称为Ramanujian 函数。函数 是（除去一个常数系数后）唯一一个权为12的尖形式（cusp form），也是权最小的尖形式，它可以用Eisenstein级数表示为
其中
用以上 函数或 函数不难表示出题目中的极限。
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