为什么喝醉的人可以走回家，喝醉的鸟却不能飞回家？ 第1页

刚好担任随机过程助教的时候给大家解决过这个问题，就写一下当时的做法。这个回答也可以看作是对另一个提到黎曼函数的答案的补充。

首先来点准备工作。假设一个粒子在 维的网格上做对称随机游走。如果原点是常返的，那么从原点出发的话以概率1它会返回原点，而一旦返回整个过程由于马尔科夫性会重新开始，于是它又会以概率1回来，所以它将无穷次回到原点。而如果原点不是常返的，那么它每次回到原点再离开时，就会以某个正概率不再返回，从而它最终的返回次数是一个几何分布，有有限的期望。这就说明了原点是常返的当且仅当这个粒子从原点出发后返回原点次数的期望为无穷。以下总假定粒子从原点出发。如果定义一列示性函数 ，如果粒子在 步回到原点即为1，否则为零，那么返回次数的期望为 ，换序因为单调收敛定理。那么只要看这个级数对不同的 发散还是收敛就好了。而很明显只有偶数的 能使 ，接下来就只考虑 。

时， 根据Stirling公式。所以级数发散。

时， 根据Stirling公式。所以级数发散。

对于 ，先考虑 的情况，

因为 ，所以 收敛。对于其他项，举个例子，对于 的情况，我们有

所以 ，所以 收敛。类似的就可以证明整个级数收敛了。

所以原因是对于非负实数 ， 收敛当且仅当 。