如果变量X Y独立怎么证明E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(XY)=E(X)E(Y)？ 第1页
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定理1
若 ，则 且
证明：因 ，故 ，故 ，故 .
推论1
若 ，则 且
定理2
若 且 独立，则 且
证明：
Step1 先设 是非负简单可测函数。
则 且 ，其中每个 可测。
由独立得
因 ，故 ，故 ，故 .
Step2 再设 是非负可测函数。
设 是非负简单可测递增函数序列，使得 . 则 也是非负简单可测递增函数序列，满足 .
使用单调收敛定理与Step1的结果可得
因 ，故 ，故 ，故 .
Step3 最后考虑一般情形。
注意到 ， .
因 ，故 ，故由Step2的结果得 .同理 . 由定理1得 . 同理 . 由推论1得 .
由定理1、推论1、Step2的结果得
【备注】如果没有 独立的条件，则 是不对的。此时条件需要加强到 才能保证 .
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