为什么有限维赋范线性空间中的范数是等价的？ 第1页

赋范空间 中的两个范数 和 等价是指，存在正数 使

容易看出，“范数等价”确实是一个等价关系，即满足反身性、对称性、传递性。如果两个范数是等价的，那么它们定义的收敛性也是等价的，即

这在具体问题的研究中会带来方便。比如常微分方程中的稳定流形定理、Hartman线性化定理等，在不同场合使用各自的方便的范数，最后通过范数等价性得到统一的结论。

在有限维空间中，一个绝妙的性质是，一切范数都是等价的。为了说明这个结论的正确性，只要证明，任何范数都和欧氏范数等价就行了。

定理 设 是 维赋范空间， 是欧氏范数，则任意的范数 和欧氏范数等价。

证明 设 是 中的线性基， 中的任何向量 有分量形式 则欧氏范数 根据范数的三角不等式、线性性质，和赫尔德不等式，有

这里 是常数。所以，对于任何向量 有

可见，把范数 视为 到 的函数，它关于欧氏范数是连续的。

考虑 中的欧氏单位球面 它关于欧氏范数是紧集。所以函数 在 上有最大值 和最小值 函数 仅在原点等于0，而原点显然不在 上，所以

对于任何 显然 所以 根据范数的线性，得到 证毕。

注1. 证明中主要用到“连续函数在紧集上有最值”这一定理。要注意的是，连续和紧都是与拓扑有关的概念。必须对同一个范数而言，函数是连续的，定义域是紧的，那么函数在定义域上才有最值。也就是证明中两处加粗的字。有一些所谓的“证明”中，应用了范数关于自身是连续的、欧氏单位球关于欧氏范数是紧的，然后得到结论。这是错误的。

注2. 可以看出，“有限维”这个关键条件用在两处。一是有限维空间有线性基，可以谈欧氏范数，进而 是有限数，于是得到 关于欧氏范数的连续性。二是有限维空间的单位球面是紧集。这两个特征都是一般的无穷维空间没有的。

注3. 欧氏空间，不是欧式空间，不要写错别字~~