高斯作出正 17 边形的依据是什么？ 第1页

　　看到网上流传着非常多版本的正十七边形作图方法，这些方法的步骤繁多，难以记忆，也包含了很多“描述简单，操作复杂”的作图，如“平行线，垂线，角平分线，中点”等等。

　　这里提供一种作图步骤最少，几何意义最清晰的版本，相关的步骤有很好的对称性，更容易记忆，一次能作出所有的分点，避免截取误差积累，希望对大家能有所帮助。

　　为了确保更多的人看懂，前面会讲述较为全面的复数和初等数论基础，有相关基础的读者可以跳过前面几部分，甚至直接看最后的作图步骤，也可以按照步骤作出正十七边形。

复数相关基础

　　复数最早是为了求解代数方程对实数的扩展。由于在高次代数方程求解中，需要对负数开平方，而任意实数的平方都是非负数，于是引入了虚数单位，用i表示-1的算术平方根：

　　实数单位是1，把实数单位和虚数单位做线性组合即可得到复数：

　　其中x和y是组合系数，它们都是实数，分别称为复数z的实部与虚部。

　　类似于实数的四则运算，复数也可以定义四则运算，其中加减法只需要对应的实部与部做相应的运算即可。

　　复数的乘法的运算要使用分配律展开，并利用虚数单位的性质：

　　复数除法的定义则需要使用特殊的化简技巧：

　　不难验证，实数满足的加法和乘法的交换率，结合率，乘法对加法的分配率，在复数运算中都是成立的。

复数与三角

　　用复数z = x + yi的实部x和虚部y构成一个点P的坐标(x, y)，并画在坐标系中，与坐标原点O相连，把OP的距离定义为z的模长r，根据平面两点的距离公式：

　　把x轴沿着坐标原点O逆时针旋转，当它刚好通过点P时，旋转的角度称为z的辐角，记为θ，z也可以表示为：

　　利用三角表示可以更明显体现复数运算的几何意义，需要用到三角函数中的“两角和公式”：

　　复数的运算与三角函数会有关联：设α和β是两个角度，以它们为辐角构造两个复数：

　　把这两个复数做乘法，并利用三角函数公式：

　　由此导出复数乘法的性质：两个复数的积的模长等于因数的模长的积，积的辐角等于因数的辐角之和。

　　利用这个性质，可以直接导出棣莫佛定理：

分圆多项式

　　对于用圆规直尺n等分圆周问题，本质上即是用圆规和直尺的组合计算单位圆(圆心在原点，半径为1)的n等分点的坐标。

　　由于圆规和直尺作交点只能实现加，减，乘除和开平方运算，因而只有分点的坐标能用二次根式组合表达时，才能用尺规作图实现n等分圆周。

　　根据棣莫佛定理，可以发现，下面的n个点的坐标构成对单位圆的n等分：、

　　它们也对应着下面的复数：

　　不难验证，这些复数恰好是下面n次多项式的复根：

　　这个多项式因此被称为分圆多项式。写到这里，估计你就要想了：这个多项式的根如何用根式表达呢？

　　当n = 2时， 可以分解为 ，因而的两个根是±1。

　　当n = 3时， 可以分解为 ，然后第二项利用配方进一步分解： 　　由此得到它的3个根，分别是1， 和 。

　　当n = 4时， 可以分解为 ，进一步分解为

　　因此，它的4个根分别是±1和±i。

　　上面的复根对应的点刚好是单位圆周的分点。由于不超过4次的方程可以用求根公式导出根式解，所以当n = 2, 3, 4时，分圆多项式 的根必然可以用根式表示。

　　无论n取何值，z = 1都是分圆多项式 的解，因而称为平凡解，而等分圆周则需要计算分圆多项式的非平凡解。

　　那当n = 5时，分圆多项式 的根可以用根式表示么？

五等分圆周的理论求解

　　由于五次方程没有求根公式，所以任意一个五次方程不能确保它的根能用根式表示，但不排除特殊的五次方程能用根式解。

　　用根式解方程的关键就是把方程的根通过四则运算组合成中间变量，并使得中间变量满足一个次数较低的方程，称为预解方程。

　　对于5次分圆多项式 ，用ε表示它的一个非平凡解：

　　ε的整数次幂可以表示分圆多项式的所有非平凡解： 　　不难验证，ε满足，对任意的两个整数k和l，只要k - l能被5整数，就有　　因此有下面的等式：

　　注意到 可以分解为 　　因而ε满足： 　　构造两个中间变量：

　　这两个中间变量满足特殊的性质： 　　根据一元二次方程根与系数的关系可见，和 是下面方程的两个根：　　利用一元二次方程的求根公式导出这个方程的根： 　　这两个根都是实根，而且 ，需要导出它与和的对应关系。

　　根据三角函数的性质，有：　　因此有 　　根据余弦函数在[0, π]之间单调递减，有 　　再根据 ，有

　　有了这两个用根式表达的三角函数值，就算不具体计算ε，也足以五等分圆周了。

五等分圆周的作图

　　根据前面的理论，对于一个半径为r的圆，只需要作出和，即可作出五等分点。

　　在图中，是五等分⊙O的最初分点，具体步骤如下：

1. 作出 反向沿长半径的中点A
2. 作与 垂直的半径OM
3. 以A为圆心，以AM为半径作圆弧，分别与 所在的直线的于和
4. 以为圆心，以为半径，作圆弧与⊙O交于和
5. 以为圆心，以为半径，作圆弧与⊙O交于和
6. 顺次连接，即得到正五边形

　　上面的作图一次作出全部的分点，不需要用一个长度截取，因而避免了截取过程中的误差累积问题。作图的原理也不难解释：

　　中点A的作用是作出长度为的OA和长度为的AM，以A为半径在所在的直线上截取的和的有向长度即是 和 ，也即是前面导出的和。

　　由于以 和 为圆心作的都是与⊙O半径相同的圆弧，因而 和 在 的垂直平分线上， 和 在 的垂直平分线上，因此，它们的横坐标即分别是和横坐标的一半，即和，再加上它们在⊙O上的约束条件，即可导出它们是⊙O的五等分点。

七等分圆周可行么？

　　为了强化利用“分组”思想来实现转化分圆多项式的技巧，这里试着求解n = 7的分圆多项式：　　取非平凡解 　　这样分圆多项式的6个非平凡解为： 　　用分组思想构造三个中间变量： 　　则它们满足： 　　根据三次方程根与系数的关系，导出和是下面方程的三个根：　　虽然三次方程可以用根式求解，但是求根公式中包含了三次根式，无法用圆规和直尺构造相应的运算，因此，正七边形无法用尺规作出。

　　但是，如果允许有一步使用特殊工具实现三等分角，则可以构造出正七边形(亲测有效)。相关的作法可以用三次方程的求根公式导出。

中间变量构造用到的数论知识

　　从上面的讨论可以看出，即使分圆多项式次数高于5次，依然有可能对它的根组合构造次数较低的方程来求解，可是如何构造呢？

　　实际上，并不是任意次数的分圆多项式都可以使用这种构造思路来求解，只有n是素数时，这种构造才能有效。因此，这里只讨论素数次分圆多项式： 　　构造中需要用到“原根”的概念，先介绍费马小定理，为了叙述方便，引入“同余”概念：如果两个正整数m和n被正整数p做“带余除法”得到的余数相同，则称为“m和n关于p同余”。

　　不难发现，“m和n关于p同余”的等价描述是“m - n能被p整除”。

　　对于素数p，如果一个正整数a不能被p整除，构造由p - 1个整数组成的集合 　　S中的每个元素都不能被p整除，而且S中的任意两个元素关于p不同余(它们的差是由a和一个从1到p-1之间的整数相乘而得到，因而不可能被p整除)。

　　这就意味着S中的元素对p取余数，组成了集合： 　　把S中的所有元素相乘，R中的所有元素也相乘，两个积对p同余，这就意味着它们的差能被p整除(感叹号表示阶乘)： 　　注意到上式中(p - 1)!中的每一项都不是p的倍数，但乘积却能被p整除，因而 必然能被p整除，这即是费马小定理。

　　前面的讨论枚举了a的倍数，下面枚举a的整数次幂，构造有序集：　　P中的元素显然都不可能被p整除，如果有两个幂次k < l使得和关于p同余，且它们之间的元素都不与或关于p同余，则和的差能被p整除：　　由于 不能被p整除，因而能被p整除，取d = l - k，则对任意从1到p-1之间的整数k，与 关于p同余。

　　因此，P中的元素对p的余数以d为周期重复，且每个周期最后一个元素对p的余数为1，而费马小定理又能确保P的最后一个元素对p的余数为1，这说明p - 1是d的倍数。

　　由此可见，a从1到p - 1的幂次对p的余数有两种情况：(a) 遍历从1到p - 1的所有整数，(b) 遍历从1到p - 1的d个整数，其中p - 1是d的倍数。

　　如果a以从1到p - 1的整数为指数的幂对p的余数遍历从1到p - 1的所有整数，则a称为p的原根。

利用原根构造分圆多项式的中间变量

　　对于素数p次分圆多项式，用ε表示它的一个非平凡解：　　它的所有解都由ε的幂次组成，总共有p - 1个，设d是能整除p - 1的整数，则从1到p - 1的整数除以d得到的余数会取0到d - 1的整数。

　　按照这些整数除以d得到的余数分类，可以分为d类。按下式构造d个集合的元素之和(mod是指取余运算)：　　则这d个变量有着很好的对称性，以(k = 0, 1, …, d - 1)为根的d次方程系数可以利用ε的性质导出。

　　下面以p = 13为例，演示这个构造过程，不难验证，a = 2是p = 13的原根，a = 2的幂次和元素为：　　这个集合对应的除以p = 13的余数为：　　在这个例子中p - 1 = 13 - 1 = 12，取d = 3即可满足p - 1能被d整除，以1到12中能被3整除的整数作为a幂次，构造变量 ： 　　再以1到12中被3除余1的整数作为a的幂次，构造变量：　　最后以1到12中被3除余2的整数作为a的幂次，构造变量： 　　验证和组成的对称多项式(计算过于繁琐，这里只列结果)：　　由此看出，这样构造的中间变量是下面的三次方程的根：　　由于求根公式中存在三次根式，因而 和 也不能用尺规作图来作出。但如果允许使用一次“三等分角”操作，可以再与尺规作图组合作出正十三边形(亲测有效)。

　　注意到，取d = 6也能被12整除，我们可以再构造6个中间变量：　　不难验证，这些中间变量与前面的中间变量有如下的关系： 　　由此可见，只要得到和，我们即可以再构造3个一元二次方程用根式来表示 , k = 1, 2, 3, …, 6的值。

正17边形理论求解

　　前面讨论那么多，终于来到正题。对于素数p = 17，为了求解分圆多项式，设ε是它的一个非平凡解：　　不难验证，a = 6是p = 17的一个原根，a = 6的整数幂次和对17的余数如下表：

　　根据p - 1 = 16，能整除16的非平凡因子有2, 4, 8，先以a = 6的奇数次幂和偶数次幂对p = 17的余数做为指数分类并构造中间变量： 　　其中中ε的幂次来自，k = 0, 1, …, 7，中ε的幂次来自，k = 0, 1, …, 7。

　　然后再以a = 6的幂次对4除的余数做分类：

　　其中中ε的幂次来自，k = 0, 1, 2, 3，中ε的幂次来自，k = 0, 1, 2, 3，其中中ε的幂次来自，k = 0, 1, 2, 3，中ε的幂次来自，k = 0, 1, 2, 3。

　　为了让这个分类更加清晰，我们把6做成了一个环状排列(如上图)，并以a = 6的指数分别对2的余数和对4的余数分类，a = 6的指数对17取余得到的即是ε的指数，分类组合即得到了中间变量。

　　利用ε的性质不难验证，和满足： 　　同时也不难验证，和满足： 　　最后，整数倍的余弦值满足：

　　由此可见，17次分圆多项式可以转化为全都是一元二次方程的组合，因而它们的解必然都是二次根式的嵌套，可以用尺规作图来作出。

　　在给出作图步骤之前，需要先用不等式排列一下这些中间变量的大小，根据余弦函数的性质，不难导出下面的不等式：

　　这些不等式是为了在解出一元二次方程以后，区分正负根。

作图步骤的设计思路

　　大部分十七边形作图步骤的版本都是先用二次根式表达出这些方程的解，再用作图方法构造加减乘除和开平方运算。但是这样会导致作图步骤太过繁琐。这里给出直接利用作图解方程的策略：

　　设和是两个未知量，并且满足： 　　下面寻找利用作图实现 和 构造方法，其中的原理是切割线定理的推论。

　　上图的作图步骤如下：

1. 在坐标系的x轴上作出点
2. 在坐标系的y轴上作出点
3. 以M为圆心，以ON的长为半径画弧
4. 以N为圆心，以OM的长为半径画弧
5. 作出两弧的交点I
6. 在坐标系的y轴上作出点U(0, 1)
7. 以I为圆心，作出过点U的圆，交x轴于和
8. 点和的横坐标即为需要计算的和

　　这里面的原理就是构造了矩形OMIN，M是和中点，因此 得以满足。

　　在y轴上作出Q(0, q)，根据N的作图，N是UQ的中点，这使得以I作的圆也经过U和Q，因此有

　　上面的作图就算p或q是负的，依然可以作出方程的解，因而具有通用性。另外，这个作图利用了坐标系的直角特性，省去了“作垂线”的操作(这个操作描述简单，但实际应用很繁琐)。

正十七边形的作图步骤

　　这里将利用前面求解17次分圆多项式的结果和求解一元二次方程的作图构造正十七边形。由于作中点的步骤也不简单，所以也需要提前计算方程系数的一半。

　　第一步是作出和，根据前面的理论，它们满足 　　先把单位圆周放在坐标系中，然后把竖直向上的半径取中点M，水平向左的半径取8分之1点A，如下图：

　　在上图中，以A为圆心作过M点的圆， 交水平轴于和，利用中点性质和切割线定理不难验证，和的横坐标即分别是和。

　　然后需要作出和，根据前面的推导，它们满足：

　　下图所示的作图即是对这些方程的求解：

　　在上图中，分别以 和为圆心作过点M圆弧和，作出弧与x轴的交点和 ，作出弧与x轴的交点和，再次利用中点的性质和相交弦定理即可导出，和的横坐标即是需要求解的和。

　　再下一步即需要利用来求解 的值，这一步求解的步骤较为繁琐，首先需要把放在x轴上的和搬运到y轴上，如下图：

　　上图中，搬运的竖直基准位置是从M点开始的要求有： 　　注意到 和 在O的右侧，被搬运到了M的上方构造出了 和 ， 和 在O的左侧，被搬运到了M的下方构造出了 和 ，这些搬运操作本质上是为了构造和，从而为进一步的作图解方程作准备。

　　方程的求解分两步进行，第一步是构造矩形，如下图：

　　上图总共构造了4个矩形，分别是： 和 ，注意构造方法不是作垂直，而是用圆弧画交点，从而减少作图步骤和额外痕迹。这些矩形的新顶点和将作为圆心画弧，如下图：

　　在上图中，N是单位圆与y轴上半轴的交点，分别以 和 作过点N的圆弧，4个圆弧与x轴交于8个交点，这8个交点的横坐标即为 的值，以这8个交点为圆心作单位圆，即可作出等分圆周的17个交点，如下图：

　　顺次连接上图中的分点，即可得到正十七边形：

　　前面的作图除了最初的坐标系构建，完全没有“描述简单，操作复杂”的作图步骤，仅是由画弧，作交点等步骤完成，同时也减少了“串联”步骤引起的误差积累。

总结和问题的相关花絮

　　等分圆周问题牵扯到了初等代数，初等几何，三角，复数，初等数论等学科的知识，是一个有趣的题目，希望读者通过读本文能有所收获。

　　不难发现，前面提到的方法如果能作正素数p边形，则p必须满足p - 1是2的整数次方的特殊素数，这类素数由费马最早提出，因而称为费马素数，它的通项是：　　需要特别指出的是，如果上式中2的指数不符合 的形式，则不能构成素数。目前人类发现的费马素数仅有5个，即： 　　正257边形和正65537边形的作图也有人给出，极为繁琐。欧拉证明了不是素数，他的证明方法技巧性很强：

　　虽然目前没有找到更多的费马素数，但也不能证明没有更多的费马素数。总体来看，人类能够作出的正素数边形少的可怜，但这些成果是很漂亮的趣题，值得我们掌握。

高斯的创新在于他将一个之前被视为纯几何的问题用代数解决了。

他最终证明的定理如下：

正多边形当且仅当边数为形如 的数时可用尺规作图，其中 为各不相同，形如 的质数。

高斯自己在结论里是这么写的：

早在欧几里得时代我们就知道怎么将圆三等分和五等分。但让我很惊讶的是，在接下来两千年的时间里我们对这个问题的认识毫无进步，几何学家们都认定除了这两种情况以及可以直接从其推导出的情况，任何其它正多边形都不可能用尺规作图。

他利用的就是当时还很少有人接触的复数概念，并将其的几何意义发扬光大，因此复平面有时也被称为高斯平面。

在复平面内，单位圆上包括1在内的 等分点代表的复数 满足 。

因此找到除了1以外的 个点相当于解方程

，

这个复方程因此也被称为分圆方程。

下面我们只看这个命题的正方向，即当边数满足条件时可以用尺规作图。

首先，容易看出如果我们要作正 作边形，只要作正 边形就可以了。

然后如果我们能作正 边形，其中 都是质数，那么 互质，可以找到整数 使得 ，换句话说，

，因此可以作 段圆弧， 段圆弧，以此类推，最终得到1段 圆弧。

因此，我们只需要解决

在 为形如 的质数时就可以了。

高斯思路的精髓是把上述方程的根分成不同的周期。

他首先找到质数 的原根 ，即 是 的次幂中最小的被 除余1的数，换句话说， 上述方程的个根可以写作

，

记 为第一周期

之所以这个排列被称为周期是因为每一项都是前一项的 次方（ ），而最后一项的 次方回到第一项。

接下来，高斯将第一周期平分为两个一样大的周期（第二周期）的和：

以及，并找出以这两个周期的值为根的二次方程。

在每个周期里，每一项都是前一项（包括第一项是最后一项）的 次方。

然后高斯再将两个周期各一分为二，并得到以四个周期的值为根的两个二次方程。这两个二次方程的系数可以用之前的二次方程的根表达。

因为 ，高斯反复利用这样的方法一分为二，二分为四，依此类推，最终得到 个周期，以及对应的 个二次方程，最后求出原分圆方程全部的 个根。

现在以 为例，

首先找到17的最小原根3，然后 除以17的余数分别为 。

因此按顺序标上 ，即 ，每一项都是前一项的立方。

然后构造

，

根据最开始的分圆方程可得 ，然后相乘展开可得 ，得到 为二次方程 的根。

这里有一个细节是我们要分辨 谁大谁小，因为当 时，对应的 和 关于实轴对称，可得两个复数的实部相等。

因此

从下图可以立刻看出 为正，而 为负，因此解方程得到

接下来的四个周期为

根据之前的二次方程可得

，

并可计算 ，

由此得到两个二次方程

，

具体两个根的分配再一次考虑实部：

看图可得

因此：

， ， ，

最后一步

这样一来 ， ，根据 可知 ，于是得到二次方程 ，从而可以得出 。

这么一来尺规作图就很简单了：

1 - 作出

2 - 作出

3 - 作出

4 - 作圆心O到实数 连线OW的垂直平分线，交单位圆于点 ，然后就可以得到正17边形边长作出整个图。

题外话：高斯因为才能过于惊世骇俗，所以经常会无意中说出文首那种“让我很惊讶”之类的凡尔赛语言。

但这件事里面最让人体会到天才和凡人差别的还是以下轶事：

高斯虽然从童年时就展现了极高的数学天赋，他在上大学时其实一直在犹豫是要钻研数学还是神学为自己的毕生职业，后者在当时是更为稳当也更体面的职业，

结果呢？高斯在19岁弱冠未满之时，解决了以上悬疑千年的难题，成为他最终下决心投身数学的契机：原来我在数学上还是有天分的……

两年之后，21岁的高斯写下了数学史上最伟大的著作之一《算术研究》，开创了整个现代数论领域。

       Map[ToRadicals,{2Sin[ [Pi]/17],Cos[( 2[Pi])/17]}]