三分之一等于零点三三循环，而三分之一乘3等于一，用零点三三循环乘三却等于零点九九循环？ 第1页
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liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
中学的时候，大家都接受不了上图最后那行事实，因为这个问题太深刻，涉及到实数的本质，也就是所谓实数的完备性。用比较高深的观点看实数，比如说实数1是什么：就是以1为极限的所有数列构成的集合。
实数完备性不提也罢，我们还是用比较直观的方法去论证吧（本质上还是极限）。我们先承认一事实：
不等的数之间总有其它数。比如0.5介于0与1之间，所以0与1不等。
如果我们把这个命题写成它的逆否命题，
公理：两数之间再没有其它数，则两数相等。
这个事实很显然吧（虽然显然不一定容易证明），接下来我们用这个公理去证明所求。
反证法：若0.9…和1之中有其它数，我们记为α，那么有：
0.9<0.99<…<α<1
既然1大于α，那么我们将两者的差记为：
δ:=1-α>0
由假设，我们知道1与0.9…的差永远都无法小于δ，
然而事实上：
我们发现，只要上面最后一个不等式成立，1和0.9…的差是可以小于δ的，这和我们假设的矛盾，即1与0.9…之间没有其它数了，所以由公理可知，1和0.9…是相等的。
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