如何构造 [0,1] * [0,1] 到 [0,1] 的双射 ? 第1页

@交换子 提出的「交错法」确实是构造所求双射的标准思路。

然而因为有理数有两种不同的表示方式，比如 1/2 = 0.5000... = 0.4999...，「交错法」并不能得到一个双射。

这个帖子给出了一种解决这一问题的方法：

我简述如下。首先，把原问题转化为构造 (0,1] 到 (0,1] * (0,1] 的双射。这一步很简单，因为 [0,1] 与 (0,1] 之间有一个平凡的双射：把 0 映射为 1，1 映射为 1/2，1/2 映射为 1/3 …… 其它数不动。

然后再使用交错法。设 (0,1] * (0,1] 中某一点为 (a,b)，把 a、b 都表示成十进制小数的形式。例如：

a = 0.1012008005...
b = 0.0045003026...

如果 a 或者 b 是有理数，那么选择 9 循环的那种表示形式，而不是 0 循环的那种。

然后，把两个十进制小数分段，具体分法是在所有非 0 数位后分割：

a = 0.1 01 2 008 005 ...
b = 0.004 5 003 02 6 ...

因为我们从来不选择无限个 0 循环的那种表示形式，这种分割一定可以得到无限段。

最后，把分割出的各段进行交错，得到 (a,b) 在 (0,1] 中的像：

0.1 004 01 5 2 003 008 02 005 6 ...

可以验证，上面的过程反过来同样可以进行，这样构造出来的就是 (0,1] * (0,1] 到 (0,1] 的双射了。