根号 2 是无理数，每位小数都是 0~9 之间的数，为什么相乘之后全是 0？ 第1页

其实你要问的是 的每位小数都是0到9之间的数，相乘之后怎么全是0.

一个无理数数 a 可表示为

为整数， ( ) 是0到9之间的整数。

两个序列直接相乘，不考虑进位的情况下， ，

实际上是必须考虑进位的，设 每个 ( ) 是0到9之间的整数, 则有

其中 表示对 取整， 表示 除以 的余数。

一般情况下，一个无理数与自身相乘，不能保证所有小数相乘后全变为0，但是如果无理数是某个正整数的平方根，则恰好得到每个 均为0 。

详细论证比较复杂，先做个简单的验证，看看是何种情况，以 为例

( ,

先看不进位的结果:

进位的结果:

因为 没有计算，因此 是不准的，

结果是

位数计算越多，结果越接近2。小数是无穷个9，如果进1，则小数全为0。

为何如此？正整数开根号所得的小数恰好是上面乘法序列的逆运算，若某位数除法有余数，需进位到下一位之后参与下一步除法，而下一步本身的位数均为0 （因为是整数开根号），因此可以理解，正整数（非完全平方数）开根号所得的小数序列，如果与自身相乘，结果必定为零。

【补充资料】：为了更好理解一个正整数（非完全平方数）开根号所得的小数序列与自身相乘，结果小数均为零，这里用手工计算开根号看看小数序列是如何得到的。

在所有手工计算开根号的算法中，牛顿求根公式的算法是效率最高的，是收敛速度为二阶的算法，即每迭代一次，正确的小数位数加倍。

求 的根，牛顿迭代公式：

初始值 越靠近正确的根，收敛越快。

求实数 C 的平方根()，令 , 则 的根为：

迭代公式为：

以 为例 () 看看小数序列是如何形成的。因为

取初值

取两位小数即可，这两位小数是正确的，所以取 , 因为每次迭代正确位数加倍，因此取小数的位数也每次加倍：

迭代四次，已得到 位准确小数。

看出 小数序列形成的规律吗？ 它是由一次除法与一次加法的结果取平均数。

除法是用2除以上次计算结果。假设 准确的根为 ，则 越接近 ，显然 也越接近 ， 就更加逼近 ，事实上，可以证明

（这就是二阶收敛的含义）

若 (初始误差为小于 )，则

以上述数据为例： (初始值有一位小数正确)

所以 , 即迭代四次有16位小数正确。

自然地，

这说明什么？说明迭代四次，所得 与自身相乘，结果与2的误差能保证有15位小数是准确的。

换句话说，因为2是整数（小数位数均为0），因此 的前15位小数要么全是0，要么全是 9.

由此看出，整数平方根形成的小数序列与自身相乘结果，能确保小数位数最终全是0或9.

全是9的话，在无穷远处进1，则小数全为零。

这就解释了正整数（非完全平方数）的平方根所形成的小数序列，若自身相乘，则小数位数的数值均会变成零。其实从常理上判断，则是不证自明的结论。整数开根号，然后自身相乘，结果当然是整数本身，小数当然均为零！