你有没有在某个瞬间觉得数学是美的，或者被数学震撼到？第1页

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洛书，古称龟书，由于在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象而得名。洛书的结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中.

虽然古人将洛书说得神乎其神，其实说白了洛书就是一个三阶幻方.

若这个幻方从开始，按顺时针每两个数字组成一个数，则可以得到个数，分别为：

若这个幻方从开始，按逆时针每两个数字组成一个数，也可以得到个数，分别为：

这两组数满足

其实这并没有什么神奇的，因为这两组数的各位数和十位数都是 . 但是令人意想不到的是这两组数还满足

更令人惊讶的是

所以这是一组非常神奇的数字！但是

那是否还有具有类似性质的数呢？答案是：有！比如下面这两组数

它们满足

第一次看到这么神奇的数时，我简直被震撼到了！数学也太好玩太美了！

其实上述两组数都是所谓的 等幂和问题 的解. 等幂和问题也叫 Prouhet-Tarry-Escott 问题，即对任意的正整数，要找两组不同的整数

使得当时，有

1935 年，数学家 Wright 猜测：对任意的正整数，都存在两组不同的整数

使得当时，有

对于等幂和问题，一般来说越大越困难. 1999 年，Kuosa, Meyrignac 和 陈漱文 借助计算机第一次解决了的等幂和问题，他们找到了两组数

使得当时，满足

这是目前能解决的最大的等幂和问题，显然这两组数同时加上一个整数，得到的两组数仍然满足上述结论，这样的解称为是 等价的. 对于，等幂和问题等价的解显然有无穷多组，但是否还有不等价的解呢？2007 年英国数学家 Broadhurst 运用 中国剩余定理 找到了第二组不等价的解. 由于这样的解要满足太多的等式，所以我们可能会很自然地想这样的解肯定十分稀少. 但令人意想不到的是，2008 年，Chouhdry 和 Wroblewski 借助 椭圆曲线 证明了的等幂和问题有无穷多个不等价的解！这个看似与椭圆曲线毫无关系的问题，最后却是用椭圆曲线解决的，这让人觉得不可思议！下面我们一起看看这一精彩的解答方法.

首先，当时，若有

则数组

满足方程

即我们仅需求方程

的整数解. 设

我们记

经过复杂的计算可得

其中

故问题转化为求方程的整数解. 我们令

带入方程，可得

由于当时，

从而可知曲线

有有理点

我们又令

带入方程

得椭圆曲线

可以验证曲线

上的有理点对应椭圆曲线上的有理点

则由 Nagell-Lutz 定理 知为椭圆曲线的无限阶有理点，从而可得上有无穷多个有理点. 椭圆曲线上的每一个有理点，都对应着方程

的一组整数解.

如椭圆曲线上的有理点对应着

从而可得方程

的一组整数解

容易看出这是一组平凡解. 为了得到非平凡解，我们取椭圆曲线上的有理点

这个点对应着

而这又对应着

从而可得方程

的一组整数解

Chouhdry 和 Wroblewski 用这种方法一共找到了组解，其中较小的组解见下表.

如由表中的第一组解

可得方程

的一组整数解

若这组解的每个数都加，则可得方程

的一组正整数解

用计算机验证结果如下：

可知确实为方程的解！

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看证明前：woc！？

看证明中：woc！！

看证明后：woc~

。

几个月后：trivial

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Radon-Nikodym导数

如果测度关于测度绝对连续，那么存在一个函数使得任意可测集

且在测度看来，几乎处处唯一（即若两个函数都满足此条件，则他们几乎处处相等）

这个函数称为对的Radon-Nikodym导数，记作。

对于学数学的同学来说，这个定理可能太简单了，没有什么奇怪的，但这个东西在物理上很不一般，因为物理上有很多密度，他们实际上都是Radon-Nikodym导数，这其中也包括概率密度，当然量子力学的波函数也是Radon-Nikodym导数，相当于概率密度开方再乘以相位。

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Cartan对单李代数的分类，A B C D 四族典型群和E F G 三族例外单李群，以及相应的Dynkim diagram，根系图（图片网上搜吧），当然还有这些李群的结构和表示论。非常漂亮的一套理论。我希望有生之年也能做出这样精美的工作。

我在我们系里还见过量子群的根系图，非常对称，等我回到系里再拍张照片传上来。

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这是我见过的对圆周率最棒的诠释，为宅总打call

https://www.zhihu.com/video/973946671940472832

来源：疑犯追踪(POI)第二季第11集

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讲一个震撼到我的数学小故事吧。

1933 年，匈牙利数学家 George Szekeres 还只有 22 岁。那个时候，他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——Paul Erdős 大神。不过当时，Erdős 只有 20 岁。

在一次数学聚会上，一位叫做 Esther Klein 的美女同学提出了这么一个结论：在平面上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么一定有四个点，它们构成一个凸四边形。Szekeres 和 Erdős 等人想了好一会儿，没想到该怎么证明。于是，美女同学得意地宣布了她的证明：这五个点的凸包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论了，而对于第三种情况，把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。

众人大呼精彩。之后，Erdős 和 Szekeres 仍然对这个问题念念不忘，于是尝试对其进行推广。最终，他们于 1935 年发表论文，成功地证明了一个更强的结论：对于任意一个正整数 n ≥ 3，总存在一个正整数 m，使得只要平面上的点有 m 个（并且任意三点不共线），那么一定能从中找到一个凸 n 边形。 Erdős 把这个问题命名为了“幸福结局问题”（Happy Ending problem），因为这个问题让 George Szekeres 和美女同学 Esther Klein 走到了一起，两人在 1936 年结了婚。

对于一个给定的 n ，不妨把最少需要的点数记作 f(n)。求出 f(n) 的准确值是一个不小的挑战。由于平面上任意不共线三点都能确定一个三角形，因此 f(3) = 3 。Esther Klein 的结论则可以简单地表示为 f(4) = 5 。
当 n = 5 时，八个点是不够的。下图就是八个不含凸五边形的点。

利用一些稍显复杂的方法可以证明，任意九个点都包含一个凸五边形，因此 f(5) 等于 9 。

2006 年，利用计算机的帮助，人们终于证明了 f(6) = 17 。对于更大的 n ， f(n) 的值分别是多少？ f(n) 有没有一个准确的表达式呢？这是数学中悬而未解的难题之一。

不管怎样，最后的结局真的很幸福。结婚后的近 70 年里，他们先后到过上海和阿德莱德，最终在悉尼定居，期间从未分开过。 2005 年 8 月 28 日， George 和 Esther 相继离开人世，相差不到一个小时。

—————————————感谢提醒转载

转载，以及一个幸福的结局| Matrix67: The Aha MomentsMatrix67: The Aha Moments 谢谢

travorlzh 网友的相关建议:

定义Zeta函数。

用表示x以内素数的数量，再设，则有：

inversioner 网友的相关建议:

高等代数。

这些东西研究的挺抽象的，有的人可能不太明白，群环域这些不实际的东西学了干嘛。

不过我就好这口，哈哈哈哈

wu-liao-de-zi-48 网友的相关建议:

可能不算是那种传统意义上的炫富吧。

我上班第三年的时候，父母在老家买了房子，房子在他们名下，所以公积金贷款什么的也没我事，我爹当时还在忙工作（房子装好之后因为种种原因他提前退休了），我妈基本上一个人包揽了监督装修的事情，正赶上天津的天气热的跟蒸笼一样，那段时间她很辛苦，但是最后房子装的很漂亮，用我亲戚们的话说，富丽堂皇，跟宫殿似的，其实没那么夸张，但是看着很大气就是了。

然后自然而然就到了该置办家具和家电的时候了。我爹我妈在家装风格这一块的品味惊人的一致，都是点名要装新中式，而我的话肯定就是现代极简甚至工业风了。我们一家三口在家居城看上了一套很不错的实木家具，林林总总下来要了小十万，老两口咬咬牙，买了！

买家电的时候犯了难。其实我当时的意思是直接在网上订了，送上门还负责安装，不是挺好？结果老两口异口同声，说家电不看看实物、量量尺寸怎么行，肯定得去国美或者苏宁瞧瞧。左右是没事做，也便去了，正赶上店里做活动（其实一年到头都在做活动吧喂），两人也是一顿挑，洗衣机，电视，空调2悬挂1立式，还有些啥我都记不清了。

结果到了结账的时候，我爹的卡余额不足了！大概是因为买实木家具的时候有点没兜住，卡里只剩下了不到八千块钱，刚够单买一个电视的。可是大热天的，又是下午三四点钟了，谁也不高兴再去跑一趟银行。

这时候我就拿着我刚申请还没多久的信用卡站了出来，申请了临时提额，潇洒了刷了总价两万七的家电钱。回家之后我妈问我，你这样刷卡会不会搞得之后生活费太紧张？回头给你把钱打过去吧，我说不用，工作之后我也没有每个月往家里打钱，这种时候能派上用场感觉也很不错，可以说是养儿千日用儿一时了。据说后来我爹我妈经常拿这个事情跟亲戚朋友炫耀。

（圈子原因，家里一众亲戚都不算宽裕，也难怪我家那个装修能被评价为富丽堂皇）

最后要说一句，有点后悔没买索尼的电视，创维的用了这几年，现在拖影很厉害。

ren-min-you-dian-chu-ban-she-19 网友的相关建议:

军事，我因生在中国而骄傲！

https://www.zhihu.com/video/1004301275952988160

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