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如何证明n是2的幂? 第1页

  

user avatar   ha-ha-wo-bu-shuai 网友的相关建议: 
      

这不是去年阿里竞赛的初试题吗。。。

第二问比较简单。令集合 ,即行向量组成的集合。则由假设(2)知道不同行的行向量不一样,即 。假设(1)告诉 你 在 上的二元运算 " "下封闭。不难验证在这个运算" "下, 构成了一个有限的交换群,设单位元是 。(单位元具体是啥?) 。并且注意到对于任意 , 。这能说明n是2的幂,即我们有群论上的简单结论:

设 是有限交换群, 。若对于任意 , ,则n是2的幂。

证明:对 归纳证明;若 平凡,则 ; 若 不平凡,取 ,对商群 用归纳假设即可。


user avatar   inversioner 网友的相关建议: 
      

这个问题还是比较简单......

题目中的 个向量组成了一个Abel群 ,只要证明群的阶数 是 的幂。为此我们发现,对任何 都有 ,其中 表示单位元,也就是元素全为 的行向量。也就是说,非单位元的元素的阶都是 。

用反证法。如果 不是 的幂,设 为 的奇数素因子,则由Sylow定理,存在 的Sylow 子群,记为 。其阶数 为一个奇数,从而其中有一个非单位元,称为 。这样 阶群 是 的子群,根据Lagrange定理, 整除 ,但是 是奇数,矛盾!

顺便提一下,第一问就证明有一个全是 的,其余的都满足“所有分量相加等于零”;这可以从题目中数量积的条件得出来。第三问使用一点群的线性表示的东西就行了。




  

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