10个人各自从1-10选数字，尽量让自己最大且不重复，如何选？ 第1页

首先，交流是没有用的，这一步可以省略。没有任何承诺的交流，经济学上称为“便宜话”（cheap talk），便宜话在大家都是完全理性，完全信息的时候是没用的，等同于噪声。如果大家有一些自己的私人信息，那么根据机制的不同，便宜话有时候也能揭示一些信息。但是在这个题目里面，便宜话怎么着都是没用的。

你可以吓唬其他人说自己选10，9，8，但是这个不可信啊，因为如果还有另外两个人也这么吓唬你，你还会不会在选择的时候坚持自己的数字？

先从二选一说起，二选一的博弈特别简单，三个数 0，1，2。其中1和2可选，选到一样的自动分配为0。这个时候两个人都选2就行了。这个时候两个人都选2是绝对优势的策略，因为此时数字归0，于是公司随机的从两个人里面抽一个人当选。但是这两个人也没有更好的策略，因为谁只要不选2，就相当于把入选的机会白白的给了另外一个人。

但是三选一的时候，就没有这么好的策略了，假如三个人都选3，那么其中一个人偏离出来偷偷选2，就赢了。所以这个时候注定是混合均衡，也就是每个人都以一定的概率选择1，2，3，然后这三个数给他们胜利的期望值相同，这三个人——因为是完全相同的三个人，所以会采用相同的策略，然后各自以三分之一的概率当选。

我们只考虑对称均衡，假定参与者1，2，3选择1，2，3的概率分别为 。那么混合策略的定义要求参与者选1选2和选3带来的期望收益是一样的，我们记选上为1，落选为0，那么博弈的矩阵如上图所示。

看上去很复杂，但是很多时候因为收益都是0，我们看到只有当对于参与者1而言，只有当参与者2和3选择一样的时候，自己才有入选的机会。，所以参与者2和3都选2的概率是 ，而都选3的概率是 所以参与者1选择1的时候，入选的总概率是 。

同样的道理，当参与者选2的时候，入选的总概率为 ，当参与者选3的时候，入选的概率为 。

直观上可以看出，选择1和2的概率是一样的，但是选择3多了一项，解上面的方程可以得出：选择1和2的概率分别为0.25，而选3的概率为0.50.

再往后推理十选三的话，就要用计算机来画博弈树计算了，但是我们依然可以刻画出一些关于这个非合作均衡时的特性：

• 选择10，9，8的概率应该是相同，因为总会有三个人入选，所以只要你选了10，9，8，然后这个数字没有人选，你几乎总是可以保证一个位子的。
• 选择10，9，8的概率应该高于选择其他小数的概率。如同我们在三选一里面看到的，选大数有一点优势，就是当其他人的选择不和你重复的时候（比如正好随机到参与者1选1，参与者2选2，这个时候参与者3选3就赢了），你的数最大，你就赢了。

关于合作均衡的问题，这个打开了潘多拉魔盒，非对称策略的合作均衡有很多，比如之前我忽略了联合分布，感谢 @刘天任 的提醒，确实在混合策略下要考虑概率的分配，所以合作博弈还是有意义的。Reject sampling有一点动态，就考虑合作博弈下，分工来选小数字避免撞车的情况已经足够了。在上面三选一的例子中，可以证明 参与者1和2组成联盟，一个以0.5的概率选1，一个以0.5的概率选2，都以0.5的概率选3，那么这个策略可以把参与者3的胜率从1/3 降低到3/11。提高了参与者1和参与者2 的联合胜率到8/11，每个人还都能够分到 4/11的胜率。

或者再说一个均衡，参与者1选2，参与者2选3，参与者3以50%概率在2和3之间随机，也是个均衡，这样参与者1和2霸占了100%的机会，然后每个人以50%机会胜选。参与者3毫无机会。

所以考虑合作均衡，那么问题就进一步复杂化了。三选一的时候已经是这样，那么十选三的时候，要考虑的因素更多，因为可能存在着非对称的，互相对抗的联盟，也可能存在一个悲惨的散户…… 要精确的计算联盟，很难在这一个答案里面写出来。不过9选3的时候倒是有一个合作均衡6-3.

六个人组成联盟，分别选择9, 8, 7, 6, 5, 4 六个数字，另外三个人不论如何选，赢的概率都是0，所以无差异，可以通过调节这三个人的概率，构造一个纳什均衡。这样联盟里面的六个人的胜率是1/2，大于不合作时候的1/3.

但是十个人的话，多的这一个人很不好办，因为在十个人的情况下，六人联盟无法保证胜利者一定出在联盟内，比如在最坏的情况下，只有两个数没有遮盖所以胜出，剩下的名额在其他8个人里面随机挑选就可以挑到联盟外的人。所以一个选择应该是7人联盟，这样可以再次保证胜利一定出在联盟内，但是这种情况下，联盟内是没有纯策略均衡的。

其实这个题目作为面试题还真是可行的。因为当大家是完全理性并且不合作的时候，相当于这10个人没有任何差别，这个时候让他们博弈的结果，就等同于大家抽签，十个里面随机抽三个；但是如果大家不是完全理性的，那么有些人会通过吓唬人，合纵连横等方式获得更大的优势，那么他们确实应该入选。

交钱拍卖号码。 按损失多少分钱。（这样就算你的号码被重复，至少可以分钱啊）

精英社会也许无法最优解，但是可以相对公平。

这道题司马懿的答案是有问题的。因为题目在改变中，为什么不能讲悄悄话？

团队策略就是交流，团队交流就是讲悄悄话。

但是可以交流无执行力。

要破6人集团很简单，再组织一个新集团。

（有悄悄话更好，没有也可以）10-3/9-3 不影响结论。

做为loser的4位，再提出一个针对的提议：

做为选5，6,7的肯定失败的三位，我们再组团抽签，抽输的选8，9，10.

从而从100%失败变成接近1/2成功。