明明现在用的微积分符号都是莱布尼茨发明的，为什么都说牛顿更伟大？ 第1页

高赞极好，再补充一篇翻译自苏联数学大师柯尔莫哥洛夫1943年为纪念牛顿300周年诞辰写的长文《牛顿与当代数学思想》（НЬЮТОН И СОВРЕМЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ）。让我们跟随柯尔莫哥洛夫看一下巨星眼里的GOAT之一。

如我们所知，牛顿有两种恐惧症：“害怕争论”，“害怕哲学家”。有鉴于此，在牛顿的例子中，特别需要遵循一个我们对多数数学和自然科学代表作进行研究的规则，即：直接从一个科学家的科学著作来研究他的方法论 ，而非从他的方法论著作。以下是将这条规则应用于牛顿数学工作的一次基本尝试。

牛顿数学发现的历程非常独特：他所有创造工作的决定性年份大体上是 1665-1666 年。在这短短的时间里，牛顿在数学、力学和物理学方面的所有基本发现都被粗略地勾勒出来了。若我们限于谈论数学分析（微积分）和自然科学的创建，这种情形更是独一无二的。

一般认为在接下来的几年里，牛顿做了三大数学贡献：

1 《运用无限多项方程的分析》（Analysis using equations with an infinite number of terms） ，1665年；

2 《流数法和无穷级数》，在著作1之后、但1671年前；

3 《曲线求积术》，最先出现在1665-1666年，但包含简介和总结评注的最终版显然出现在“流数法”之后的1670年代。

这三项工作的出版时间是：

1 1711年；

2 牛顿死后的1736年；

3 1704年作为《光学》的附录。

它们在出版时仍非全然自洽的文章，一些符号的变化清楚地表明了他们写作于不同的时间。

即使是同一部著作的某些部分，有时也能清楚地看出它们写自不同的时间；在《曲线求积术》中，这种不一致是可以理解的，因为正文旨在重现 1665-1666 年牛顿的新思想，尽管它们与他在撰写引言时的观点有很大不同。

牛顿对编辑他的力学专著——《自然哲学的数学原理》或他的《光学》的态度则截然不同。在随后的版本中，它们都经过了极其谨慎的，有时甚至可能有些令人痛苦的编辑和修改。就我们的目的而言，数学著作文本的复杂修改状况，虽然使得尝试概括牛顿在每个工作时期的科学方法论更加困难，但它也有好处：提供了一些让我们能够隧穿他科学思想实验室的机会。

牛顿和莱布尼茨

大家知道，现代微积分很大程度上是在17 世纪上半叶的数学家的著作中孕育的：开普勒、卡瓦列里（Cavalieri）、笛卡尔、费马等。然而，有理由认为微积分的发现归功于牛顿和莱布尼茨，因为他们首先将所有前辈们处理不同问题的无穷小分析方法，简化为两个对偶的操作——微分和积分的系统应用。

在印刷出版物的意义上，优先权属于莱布尼茨，他在 1682-1686 年发表在“Akta Eruditorum”上的文章中详细介绍了新微积分的主要思想。

而关于主要结果的实际获得时间，完全有理由优先考虑牛顿，他在 1665 年和 1666 年发现了微分和积分的基本思想，到 1671 年已经具有完整的理论表述体系，记载于《流数法和无穷级数》中，而莱布尼茨直到 1673 年才开始研究无穷小分析。

我们不会在莱布尼茨的独立程度这一尚未完全确定的问题上停留很长时间。在这点上，以下是已知的。

上述牛顿的第一部著作《运用无限多项方程的分析》写于 1665 年，在 1669 年左右以手稿的形式转交给巴罗（注：牛顿的老师）和柯林斯，并在英国数学家的圈子里中有些名声。莱布尼茨在他开始无穷小分析工作之前的英国之行中，无疑应听说过牛顿这部著作的内容。然而，直到 1676 年莱布尼茨才在柯林斯那里得到了手稿，当时他自己的研究已经基本完成。此外，应该牢记的是，在《运用无限多项方程的分析》中，牛顿仍然没有明确介绍他的“流数”的一般方法，而是通过暴露其应用于特定问题的一些元素来限制自己。同在 1676 年，响应莱布尼茨通过奥尔登堡转达的询问，牛顿回了两封信给莱布尼茨，列出了他的主要结果，但没有完全披露获得这些结果的方法。显然，这些信件不能再给莱布尼茨带来太多新东西了。

莱布尼茨对牛顿的反向影响只能在《曲线求积术》的导言中感受到，正如牛顿自己指出的那样，该导言的写作时间要晚于本书的正文。至于《曲线求积术》的正文，从表述来看，它写于《运用无限多项方程的分析》和《流数法》之间，即1665年至1667年之间。

更有趣的是，牛顿和莱布尼茨从完全不同的角度和完全相反的方法论原则创建了微积分。

A.N.Krylov 清晰地概述了他们方法的差异，尽管有些简化和偏向牛顿：

“牛顿从力学和几何概念出发，发现并奠定了微积分的基础。他在推理中总是使用几何表示，对几何表示绝对严格，在语言和表达上绝对精确，因此他首先建立了现在使用的变量极限的概念，以及“流数”（或者，用现代的术语，“导数”）的整个学说：基于寻找两个具有某种相互关系并一起变化的无穷小量之比的极限。牛顿将根据给定的“流数”找到“流量（fluent）”（即根据导数求原函数）看做积分的基本问题，他一直使用几何方法，并将他的工作称为“曲线求积术“。

莱布尼茨采取了不同的做法。他引入了“无穷小”这个新术语，代替了变量或函数的在极限情形下会消失的增量概念。 莱布尼茨没有给这个概念一个精确严格的数学定义，在他的一些阐述中，他甚至似乎没有区分“无穷小”与“非常小”、“无穷大”与“非常大”，例如，将一个比作一粒尘埃，另一个比作地球。此外，他将无穷小的概念与“物质的有限或无限可分性”、“不可分割的原子”、“单子（monad）”等哲学概念联系起来，这些概念与纯数学相去甚远，它们不涉及数量本身，而以数字作为衡量标准。”

事实上，牛顿在他的任何一部作品中都没有对”流数法“给出逻辑一致的、与AN Krylov总结完全相合的阐述。除了“method of prime and ultimate ratios”（即现代术语中的极限方法）之外，牛顿还使用了“矩方法（method of moments）”，这与他同时代人和前辈数学家使用的“不可分割的方法”本质上是一致的，虽然在逻辑严格性上要求少一些。

追溯牛顿在他的工作中使用“矩方法”和“极限方法”的历史是很有趣的。

在他最早期的工作 ——写于 1665 年的《运用无限多项方程的分析》中，牛顿已经对极限有了非常清晰的认识，尽管他没有将其定义写下来，而只描述了一个特定情形。

然而，在《运用无限多项方程的分析》中，只要方便，牛顿就使用矩方法，他的注解并不能帮助我们理解他的做法：“我不介意谈及点的单元（point unit）、无穷小的线段，因为几何学家们即使在谈论不可分的量时，依然只关心比例关系。”

在后来的《流数法和无穷级数》中，对流数的讨论几乎完全脱离了“矩”。

我们将进一步看到，为了保留矩方法可能带来的优势（研究变量之间的隐式依赖关系时的符号一致性），牛顿在这里采用了参数观点：将所有相互依赖的量视为一个辅助变量（牛顿称之为“time”）的函数 ，辅助变量不明确包含在计算中。仅这一点就让我们相信，尝试从“矩方法”中解放出来并不是偶然的，而是一个计划的有意为之的实施。

然而，在考虑几何应用时，牛顿在《流数法和无穷级数》中再次使用了矩方法。

《曲线求积术》中，牛顿的论述出现了更大的不一致性。在前言中，字母 表示的不是“无穷小”的矩，而是普通的有限增量。例如， 相对应于 的增量是（注：即 ）：

(a)式除以 ，牛顿得到了

然后，令 趋于极限小，得到 。

（待续……）

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