高中阶段如何求 f(x)＝sinx＋2cosx＋sinxcosx 的值域？ 第1页

路过强答一番。

俺没啥文化， 初中毕业， 大伙都知道。最近盐值低迷， 为了盐值俺豁出去了。

高中阶段如何求 f(x)＝sinx＋2cosx＋sinxcosx 的值域？

这么高深的问题， 俺一般是直接祭出模拟电路仿真的工具

LTspice,

这样就能把需要大学甚至高中知识的数学问题， 转化成了初中甚至幼儿园级别的问题。

问题的解决与否，就在于是否愿意点点鼠标复制粘贴了。

令 time = x,

显而易见，如图所示， 最小值是 -2, 最大值是 +2.6806906 左右。

（逃..............

向轮子哥致敬 @梅启铭

附录： 仿真用的 LTspice 电路模型文件 xxx.asc 内容

       Version 4 SHEET 1 880 680 WIRE 320 128 48 128 WIRE 48 144 48 128 WIRE 320 160 320 128 WIRE 48 304 48 224 WIRE 320 304 320 240 FLAG 48 304 0 FLAG 320 304 0 SYMBOL bv 48 128 R0 WINDOW 3 -135 -32 Left 2 SYMATTR InstName B1 SYMATTR Value V=sin(time) + 2*cos(time) + sin(time)*cos(time) SYMBOL res 304 144 R0 SYMATTR InstName R1 SYMATTR Value 1 TEXT -2 328 Left 2 !.tran 0 20 0 1e-4     

** 您只要把这段内容存成 XXX.ASC 就能用免费的 LTspice 计算了

科普仿真的书， 没想到竟然有这么便宜. 俺以前介绍过一本 7 块钱人民币的模电仿真

从这个链接进去， 能找到那本 7 块钱的书

       https://www.zhihu.com/question/279354736/answer/1295602855     

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

俺没啥文化， 初中毕业，大伙都知道。俺不到一百万知友，才升10级。阅读总量只有9000万，还没跨出一小步，未及一个亿小目标。长期关注俺的知友知道， 俺不是专业的，俺也不是大佬。

俺是最业余的......笑话、神棍和论坛孤儿 ⚕

问题等价于考虑二元函数 在满足条件

下的最值.

拉格朗日乘数法：

这里解释一下，我们发现当代入满足 的 点， ，所以问题可以转化为求 的最值，求偏导（和一元函数求极值的原理可以类比）：

满足上述方程组的点中一定有最值点；

结合 条件可化简为

再代入 可以得到方程：

三次方程求根公式就免了，我给个数值解：

（后来查 WolframAlpha 得到了精确解

）

最小值点、最大值点分别为：

求得最值

最后做一点推广的工作.

对于一般的函数 ，其中 是关于自变量的二元多项式函数，求极值的问题都可以如上操作：

得到关系式

因为 是多项式函数，那么它的偏导也是多项式函数，于是上面方程是一个二元高次代数方程组——毕竟代数方程还是容易操作的. 最后将求得的根代入选取最值点即可.

所以这类问题本质上就是解代数方程，三角关系只用到了 恒等式. 高考如果考此类题，那么 的次数不能太高.

也许你会问，如果 是有理多项式呢，事实上这不妨碍上面的推导，只不过需要额外考虑定义域、增根的问题.

上文从一般的角度讨论了这类题目，这对题目的理解和把握有一定帮助，不过对于高中生具体解题只能说有一点点帮助。

诚然，在试卷上我们可以先换元，然后将 代入，最后就化为一元函数求极值问题（注意自变量取值范围是 ），然后像模像样求个导，实际上暗中使用了文中现成的公式 ，最后求解答案。

不过就像上文提及，只有当 的次数很高，这种解法才有实际意义，题主原题 的次数仅仅是 2 次，但是却搞出求解 3 次方程（实际上是 4 次，只不过公因式太明显了）。此时的题目就不再适合高考范围，除非出题时通过系数的调整，使得高次方程易于分解 。也就是说， 更可能只是一次多项式，此时直接利用辅助角公式就好了。