Riesz引理的直观理解或者是几何意义是什么? 第1页

前面 @等待飞翔 已经讲得非常好了，并且给出了一个Hilbert空间的例子，本回答也就做一点补充，给出一个直观但未必严谨的说法。虽然数学也有Riesz表示定理、Riesz定理这种东西，不过还是以下面的Riesz引理作为基准：

是赋范向量空间的一个闭子空间且, 则对于任意, 任意, 存在使得

赋范向量空间 内含有真闭子集 ，那么根据Riesz引理，我们能够拉到一张距离为 -网，但是这张网并不能覆盖全空间 里面的所有范数为1的元素。

我们取立体直角坐标系 为全空间，同时我们需要子空间是线性的（注意线性性），所以用水平面 来作为线性子空间，由于子空间是闭的，子空间的闭包也在子空间内，这一性质其实也是为了保证距离为0时，对应的点能够在子空间内。

此时我们考量范数为1的情况，显然，这是一个三维球面

那么我们做一张 -网，z的绝对值小于1的时候，就会被包含在这个网当中，但是，当z=1或z=-1时，我们发现这张网就没法包住这两个元素了。那么我们可以说，存在一个 ，使得 ，也就是我们这个定理要说明的内容。

当然，这里仅供参考，更严谨的说法建议参考相关教材。如有错误，也欢迎各位指正。