数学史上你认为最美的公式是什么？ 第1页

不想看推导的读者可以直接翻到回答末尾看结论。

黎曼的素数公式

我们定义黎曼素数计数函数 ，其中

则当x≥2且不是整数时总有：

其中log表示自然对数，li(x)为对数积分：

求和 遍历zeta函数的非平凡零点 。证明可以看：

大多数关于黎曼猜想的科普文章在讨论zeta函数与素数之关联时往往止步于(1)。然而实际上通过对左侧进行调整我们可以得到一个能够直接估计素数个数的公式。

J(x)与标准素数计数函数π(x)

设π(x)为不超过x的素数个数，则通过交换求和次序，可知：

实际上利用(3)我们可以把π(x)化成一个关于J(x)的表达式。具体的手段是莫比乌斯反演：

莫比乌斯反演是数论里一个变种很多的运算技巧，这里我们只展开用来计算反演(3)的过程。

设 为莫比乌斯函数。当m、n互素时 。当p为素数时：

利用这个性质，读者可以利用排列组合的原理证明当 遍历所有n的正因子d时总有：

因此有：

现在设r=md，最后再与(3)结合便有：

有了(4)之后我们就可以想办法把(1)代入到(4)中计算π(x)了。

莫比乌斯函数的其它性质

利用欧拉乘积公式，易证当 遍历素数时 ，这意味着 时总有：

事实上由于zeta函数在 无零点，所以利用Landau引理^[1]可知存在 使得(5)在 是解析。因此有：

事实上(6)与素数定理等价^[2]

素数计数函数Riemann级数

于是乎：

现在把(8)代入到(4)中可得：

其中R(x)的定义、Riemann级数为：

由于li(x)的计算过程中涉及积分，所以直接用(10)来计算R(x)将会非常耗时。因此接下来我们将尝试简化R(x)的表达式。

li(x)的级数展开

设 则有 ，把这个换元代入到(2)中，便有：

对于第一个积分，通过设置r=-t可得：

其中最后一个等式是由于 ^[3]。对于(11)右侧的积分，我们知道：

把这俩结论代入到(11)中，便得：

现在利用指数函数的Maclaurin展开式，可知 ，代入到(12)中就能得到li(x)的级数展开式：

有了级数展开之后，就可以简化(10)了。

现在把(13)代入到(10)里，就有：

现在把(6)、(7)和(5)分别代入到红、蓝、绿中，就得到了R(x)的Gram级数^[4]：

成果物

用π(x)表示不超过x的素数个数、log表示自然对数、 、 遍历zeta函数的非平凡零点时，则有：

即便不对 的非平凡零点求和也可以让我们得到一个相当良好的近似：

参考

1. ^Landau引理与黎曼猜想的一个等价命题 - 超理论坛 https://chaoli.club/index.php/6203
2. ^ Apostol, T. M. (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer New York.
3. ^Gamma函数的那些事儿（2）——欧拉常数与Digamma函数 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/114320236
4. ^ Hardy, G. H. (2002). Ramanujan: Twelve lectures on subjects suggested by his life and work (3rd (corrected) ed., repr). AMS Chelsea Publ.