为什么该图形红蓝面积相等? 第1页

确实有不需要硬算且更一般的方法，只需要假定曲线光滑，且所围的封闭区域有4条对称轴：上下、左右、东北西南、西北东南。然后任取一内点 ，作平行于对称轴的4条直线，把图形分成8个区域，如下图所示：

则有 。

证明可以通过割补来完成，初等而直接，但是线条较多，看起来比较乱。这里提供一个微积分的方法，思路很简单，就是计算面积的变化率（偏导数），发现恒为 ，从而面积是常数。所以面积跟 在对称中心时候的面积一样，从而是总面积的一半。

设 的坐标是 ，面积 是二元函数。它对 的偏导数由4个分量的偏导数组成。以第1个区域为例，当 以单位速度水平右移时，第1个区域面积的变化

。

（上面的式子可以通过微元法看出来，也可以通过用含参变元的积分来计算面积，再使用“积分号内求导”的方法来计算偏导数）这样总的偏导数就是这4个分量的和

。

当 处于对称中心时， 的值显然为0。下面我们证明 也是个常数，从而 ，从而 是常数。为此，继续求 的偏导数，它由6个分量组成，以 为例，令 是东北方向的单位向量，且记 是（以 为参数的）曲线在 点的切向量：

这样直线 上的分量就是

再由对称性可得 ，上式的值是 （注意到 是水平方向单位向量， 是东北方向单位向量）。

类似的令 是西北方向的单位向量，另外两项的值 ，

而最后两项，令 是正北向的单位向量， 。

这就得出 ，对 的偏导数类似，从而 ，这也就是 ，类似的得出对 的偏导数也恒为0。

一图流证明

仔细看的话可以看到这种构造性的证明思路挺清晰的，利用圆的对称性和 45 度这个特殊的角度，以较小的几块作为基础的拼图，然后再利用其对大块进行进一步的分割。该证明由 Carter 和 Wagon ^[1] 在 1994 年给出，也有其它答主给了 Geogebra 上的演示链接^[2]。

这个问题其实有一个比较有意思的背景^[3]，想象两个人一起分一块披萨，用刀平分的话，想象中只要过圆心，怎么切都行。但实际上因为切的过程并不知道圆心真的在哪，假如切的点不过圆心的话，两个人还能够实现平分么？

上述问题可以进一步拓展，切的刀的数量对结果平分与否有影响么？

这些研究从 1967 年开始，陆陆续续有好多数学爱好者和数学教授投入其中。对于最简单的情形来说，我们只切一刀，那么显然不是所有情况都平分的。切两刀的时候也同理。

切三刀的情形都被人做成习题了

对于四刀及以上的偶数刀情形，灰色和白色两个面积都是一致的，如果想要证明的话可以利用极坐标积分计算直接计算面积^[4]。

这个问题还可以进一步扩展到三维的情形，比如……

Rick Mabry 和 Paul Deiermann^[5] 在 2009 年用面积割补，对两部分面积的差进行级数展开，计算了从 2 维圆形到 3 维中各种不同的形状和表面被同样角度均分切割以后能否将体积或者面积平分。高维下进行对称性分析好像有点困难。

作者算了各种蛋糕或者奶酪的形状，他们发现对于半椭球的体积，半球面的表面积，分别在 5 刀以上的奇数刀和 3 刀以上的奇数刀，都是均分的。

真有你的，不愧是 Tasty Results ……

参考

1. ^"Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza." Mathematics Magazine, 67(4), p. 267 https://doi.org/10.1080/0025570X.1994.11996228
2. ^为什么该图形红蓝面积相等? - 舒自均的回答 - 知乎  https://www.zhihu.com/question/447744804/answer/1767463226
3. ^披萨定理 https://en.wikipedia.org/wiki/Pizza_theorem
4. ^为什么该图形红蓝面积相等? - kuing的回答 - 知乎  https://www.zhihu.com/question/447744804/answer/1764915726
5. ^Of Cheese and Crust:A Proof of the Pizza Conjectureand Other Tasty Results http://www.cs.umd.edu/~gasarch/BLOGPAPERS/pizza.pdf