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复变函数如何进行映射? 第1页

  

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复变平面有三大变换:

  • 莫比乌斯变换
  • 多项式变换
  • 指数变换

其中莫比乌斯变换为

特别地,当 时,我们称之为关于单位圆的共轭反演

反演有很明晰的几何意义,我们展开谈谈。见下图


如图, 、 、

由射影定理可得

此时我们称 与 为关于 互为反演点。特别地,当 半径为单位长度时,显然 与 互为倒数,这不得不让我们联想到共轭反演变换,不过还需一点加工。

由欧拉公式

那么

看得出,复数 经过共轭反演后,模长变为其倒数,幅角变为其相反数。也就是说,我们在复平面 上若想找到 的共轭反演点,可以按照上述的几何方法找到其反演点 ,然后再取共轭即可。这就是我们将倒数变换命名为共轭反演的原因。

综上,一个莫比乌斯变换可以机械地分解为若干个简单的变换的复合,他们分别是:旋转、伸缩、平移、共轭反演。这从表达式中可以清楚地看出,

莫比乌斯变换最重要的性质就是保圆性,旋转、伸缩、平移、共轭的保圆性不多用说,所以最关键是说明反演的保圆性。

题主所问的是上面的特例, 经共轭反演后为

需要特别说明的,凡经过反演中心的圆,会被映射为直线,但是我们认为直线是半径无穷大的圆。




  

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