考虑一个半径为 1 的圆，若「随机」选择圆上的弦，求弦长的概率分布？ 第1页

这道题目就是传说中的「贝特朗奇论」（Bertrand's Paradox）：

在圆里随机选取一条弦，它的长度大于圆内接正三角形边长的概率是多少？

一般的观点，是认为「随机取弦」的意思不明确，可以有三种理解，得到三种不同的结论：

• 随机端点法：在圆上等可能地选取两个点 P、Q，连接成弦。这种做法得到的结论是 1/3。
• 随机半径法：在圆中等可能地选取一条半径 OA，再在此半径上等可能地选取一个点 M，过此点作与半径 OA 垂直的弦 PQ。这种做法得到的结论是 1/2。
• 随机中点法：在圆中等可能地选取一个点 M，以 M 为中点作出弦 PQ。这种做法得到的结论是 1/4。

这三种结论其实对应了圆内弦的三种不同分布，画成图就一目了解了：

得到「弦长大于内接正三角形边长的概率」越大的方法，弦的分布在圆心附近越密；反之，得到「弦长大于内接正三角形边长的概率」越小的方法，弦的分布在圆心就越「空」。一般认为，没有什么理由认为哪一种弦的分布更合理、更符合题意，因为题意本就不明确。

不过最近，Numberphile 与 3blue1brown 合作的一期视频（ @Abelian Grape 也引用了），认为「随机半径法」对应的分布更合理：

视频比较长，但精华的部分就是 4 分钟 ~ 5 分钟这一段。它的意思是说，最合理的解法，应该满足平移、放缩不变性：不管圆画在平面的什么地方，有多大，结论应该是不变的。为此，应该先假设平面上「均匀地」分布着直线，然后再去画一个圆；而能让结论不随圆的位置和大小改变的直线分布，就是随机半径法对应的分布。

我觉得这种观点有一定道理，不过如果想把它严格化，我觉得还是有一点儿困难：在无限大的平面上，似乎无法定义直线的「均匀分布」。一种尝试是这样的：先在 之间均匀地选取直线的「方向」，再在整个数轴 上均匀地选取原点到直线的（有向）距离。不过整个数轴上的均匀分布是不存在的。

规避「无穷区间上的均匀分布」的一种方法是，先在有限区间内定义均匀分布，然后取区间趋于无穷大时的极限。回到贝特朗奇论问题，就是先定义「距离原点 以内的直线的均匀分布」，在此范围内，「随机半径法」得到的结论满足平移、放缩不变性；然后再说不管 多大，这种平移、放缩不变性都成立，所以「随机半径法」最合理。

不过，我感觉这种说法有一些啰嗦，这种啰嗦也会影响它的说服力。我也想跟大家探讨一下，有没有更简洁有力的表述，来说明「随机半径法」最合理呢？