如何理解代数中的极限和余极限？ 第1页

我们先从一般范畴中的极限谈起：

定义：给定范畴 和 ，一个函子 就是给 中每个对象 联系了 中的一个对象 ，并且给 中的每个态射 联系了 中的一个态射 ，并满足一些相容条件。我们称对象 表出了 的极限，若有从 出发到每个 的态射并与之前 之间的态射相容，并且满足这样的泛性质：对任意 中其他对象 ，一系列从 出发到每个 的态射并与之前 之间的态射相容，总由从 到 的态射复合上从 出发的那些态射所唯一给出。

我们来看一些例子：

例1（范畴中的直积（product））：

这里我们的指标范畴 就是三个“点”，它们相互之间没有态射。给出一个函子 就是给出了 中的三个对象： 。那么按照定义，它的极限 配有三个态射： ，满足泛性质：对任意 中对象 ，每三个态射 都是由一个态射 与 配有的那些映射复合而来。

习惯上，我们把这样的极限记为 ，称之为直积。

例2（范畴中的纤维积（fibered product））

解释与之前类似。习惯上我们把该极限记为 ，称之为纤维积。

所谓余极限，则是把所有箭头反向。

例3（范畴中的余直积（coproduct））

解释与之前类似。习惯上我们把该极限记为 ，称之为余直积。

作业：画出范畴中的推出（pushout），即纤维积的对偶版本。

我们来关注交换环构成的范畴 。

我们需要知道的是，在交换环范畴中，极限和余极限都可表。

对于极限，我们有简单的描述：

也即所有的逆向系统，一个所谓的逆向系统就是从每个环 里拿一个元 出来，它们与 间的环同态相容。

例1（进整数）

也即我们把模 产生的余数排成一列 （ ），并且我们只考虑那些相容的余数，也即 模 就等于 。

例2（Tate Twist）

其中 是 次单位根构成的群。

也即我们把 次单位根排成一列 （ ），并且我们只考虑那些相容的单位根，也即 。

例3（perfection）

不过交换环范畴中的余极限不是那么简单，比如：

例4（交换环范畴中的推出）

交换环范畴中的推出实际上是张量积： 。

但如果指标范畴 是滤过的（filtered），即对于任两个态射 ，都存在态射 ，使得 ，这就好像是 上有个“序”，任两个这样的态射都“最终相等”。我们可以简单地描述交换环范畴中的滤过余极限：

也即把所有 中的元 放在一起，称 等于 ，若它们在某个 中的象是一样的。

例5（代数闭包）

也即有理数域 的任一代数闭包 ，都是它里面有限子扩张的滤过余极限。

例6（函数芽）

层在一点处的芽，就是这点所有邻域上的截面构成的滤过余极限。按照我们之前对滤过余极限的描述， 无非就是把所有邻域 上的截面 并起来，称两个截面 在芽上相等，若 限制在某个更小的邻域 上相等。