石头剪刀布，已知对手只会出剪刀和布，三连平算我输，请问我的胜率有多少？ 第1页

20210706 Update: 修改了一个符号错误。

首先你只会出石头和剪刀，因为出布没有任何收益，出剪刀总是比出布好。

然后，这就是一个博弈问题。如果只有一局就比较好办，三局就复杂了，因为三局之间不是互不相关的。比如，如果你第一局赢了，那剩下两局求稳出剪刀就必胜了。

我们先假设前两局双方战平，那么第三局你就必须得赢。设对方出剪刀的概率是 ，出布的概率是 ；你出石头的概率是 ，出剪刀的概率是 。那么赢的概率就是 。这个博弈如果要达成纳什均衡，就是双方随机出。这种情况下获胜的概率是 。

然后，假设第一局战平。再设对方出剪刀的概率是 ，出布的概率是 ；你出石头的概率是 ，出剪刀的概率是 （这里和上面的xy没关系了，我懒得换变量了）。单局平局的概率是 ，获胜的概率是 。我们已经知道前两局平局，最后获胜的概率是 ；第二局获胜，第三局出剪子即可获胜。因此最后整体获胜的概率是 ，这个博弈想达到纳什均衡，就求一下偏导，均衡点应该是 ，获胜概率是 。

最后，终于回推到第一局了。设对方出剪刀的概率是 ，出布的概率是 ；你出石头的概率是 ，出剪刀的概率是 。单局平局的概率是 ，获胜的概率是 。（这些和上面都没区别）最后获胜的概率是 ，纳什均衡点是 ，获胜概率是 。

由此，大概有推广的结论，n局这样的游戏，获胜概率是 。

没学过博弈论，不保证对（逃）

欢迎指正。

@silverxz 的回答是完全正确的，不过似乎答主也没有太确信自己求解纳什均衡的做法是否正确。我的回答算是做一个小小的补充：

对于“零和博弈”，我们有如下定理（Minimax Theorem，最小最大定理）：

双方均采用使得对方最大收益最小化的策略，即构成纳什均衡。

（由于是零和博弈，“使得对方最大收益最小化”等价于“使得自己最小收益最大化”）

在@silverxz 的回答中，x和y恰好概括了双方所能采取的任意策略，而“我”的“获胜概率”，恰好为假设胜方收益为1、负方收益为0时“我”的期望收益（尽管此时不再是“零和”，但由于（1，0）可以由（1，-1）经线性变换y=2x-1得到，因此结论仍然成立）。

于是，根据最小最大定理，对方所选择的y，应当使“我”任意选择x所能获得的最大收益最小化。以1-1/2*x-y+3/2*xy为例，若对方选择y>1/3，则“我”应选择x=1并获得1/2+1/2*y，若对方选择y<1/3，则“我”应选择x=0并获得1-y，若对方选择y=1/3，则“我”总是获得2/3。为了使“我”的最大收益最小化，对方应当选择y=1/3作为“最小最大策略”。注意到“我”的期望收益的相反数即为对方的期望收益，我们可以类似地计算出“我”应当选择x=2/3作为“我”的“最小最大策略”。

但上述讨论仍然过于复杂，进一步地，我们注意到，其实最小最大策略恰好对应双方期望收益函数的一个鞍点（saddle point）（注意到，若(x,y)是“我”的期望收益的一个鞍点，则必然也是对方的期望收益的一个鞍点），而求鞍点只需要先对期望收益求偏导得到驻点（stationary points），然后检验驻点的性质。在这里，可以求出“我”的期望收益的唯一驻点为x=2/3, y=1/3，进一步检验Hessian矩阵可知该驻点确实为鞍点，于是可得唯一的最小最大策略也即唯一的纳什均衡。