原命题与逆否命题真假性一定相同吗？ 第1页
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预备知识
设系统 内的公理集 为：
其中 ， 和 是合式公式。
系统 只有一条推理规则，称为分离规则：
从 和 可以推出 。
证明
定理（演绎定理）
为公式集， 当且仅当
证明：
运用归纳法证明，过程就不写了，就说说需要证明的各种情况：
- 若 或 或 ，这三种情况都是显然的，最后一种运用公理 即可证明；
- 否则，设 为从 到 的一个推演序列，其中 ，于是我们可以不断地使用分离规则，最终得到 ；
显然。
推论（逆否命题）
当且仅当
证明：由演绎定理可知：
重言蕴含 ，使用公理
又 重言蕴含 ，故
由分离规则即得：
最后由演绎定理得
参考文献：
《数理逻辑证明及其限度》
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