你见过最巧妙的数学证明是什么？ 第1页

在博弈论中，有一个经典的定理称为策梅洛定理（Zermelo's theorem）。定理表示在任何有限二人交替参与的没有运气成分的完美信息（perfect information）博弈中，要么有一方有必胜策略，要么双方有必不败策略（平局）。

如果一个博弈是完美信息博弈，意味着博弈双方在做任何决定时都完全了解之前发生的所有事件。因此围棋、五子棋、中国象棋、国际象棋均符合定理成立的条件，而斗地主、麻将不符合定理成立的条件。这个定理通俗来讲就是对于符合定理条件的博弈，如果两个人水平无限高，那么胜负在确定两个人谁先手的时候就已经确定了。

为了说明定理的证明过程，我们先来看一个简单的博弈问题。这个问题虽然简单，但是蕴含了证明定理的思想。容易看出，下面这个博弈符合上面的定理的条件。读者可以先自己思考一下这个问题。

桌子上有 个石子，有两个人交替取1-2个石子，如果轮到一个人取时已经没有石子，那么这个人赢（这意味着最后一个拿石子的为输家）。问先取者是否有必胜策略？

首先我们指出由于石子最终一定会取完，因此不存在平局的情形。

如果只有1个石子，那么显然先取者只能取那1个石子，因此必败。

如果有2个石子，那么先取者可以取1个石子，那么轮到后取者取时，问题对后取者而言变成了他为先取者且只有1个石子，那么由上所述此时他必败，因此先取者有必胜策略。

如果有3个石子，若先取者取了2个石子，那么轮到后取者取时，问题对后取者而言变成了他为先取者且只有1个石子，那么由上所述此时他必败，因此先取者有必胜策略。

如果有4个石子，那么无论先取者取1个还是2个石子，都会转成后取者有必胜策略的情况，因此先取者没有必胜策略。

。。。。。。

现在我们已经能猜出来，当 时先取者没有必胜策略。当 与 时，先取者有必胜策略。由数学归纳法，我们知道上述的猜想是成立的。当 时，无论先取者取1和还是2个石子，都会转化为后取者作为先取者时有必胜策略的情形，这样先取者没有必胜策略。反之，当 与 时，先取者只需要取1个与2个石子，就能将问题转化为后取者作为先取者时没有必胜策略的情形，这样就产生了一个先取者的必胜策略。

现在，我们正式给出策梅洛定理的证明。我们使用数学归纳法来证明这个定理。为此，我们需要小小修改一下博弈的规则，我们规定如果在 步之内分不出胜负，那么就判定为平局。我们将原博弈中先手的一方称为黑方，而后手的一方称为白方。这样在博弈进行过程中，一共有3个维度，第一个是博弈当前处于的状态（对于前面的问题而言，就是石子还剩多少个。对于棋类问题而言，就是棋盘上所有棋子所处的位置。），第二个是下一步为黑方行动还是白方行动，第三个是在剩余多少步之后将会平局。

当 时，由定义，胜负还是平局都将确定。

现在对于任何一个 时的情况，行动后将转换为一个 时的情况，而这时的结果是已知的。对于此时黑方行动的情况（对于白方行动的情况也可以类似讨论），我们尝试所有的方案，尝试的结果必然是以下三种互斥的情况之一：

1. 存在行动方案使得之后的状态为黑方有必胜策略，那么此时黑方有必胜策略；
2. 所有的行动方案都使得之后的状态为白方有必胜策略，那么此时白方有必胜策略；
3. 不存在行动方案使得之后的状态为黑方有必胜策略，且存在行动方案使得之后的状态为双方有不败的策略，那么此时有双方不败的策略。

由于这是一个有限博弈，意味着 有个上界 。因此我们只需要看初始状态下黑方先行的最多走 步的博弈的结论即得到了原博弈的结论。

除了用数学归纳法，这个定理还有一种更直接也更巧妙的证明方法。首先，我们要假定博弈最多进行 轮，否则为平局。之后，我们规定，如果博弈在不到 步就停止了，那么博弈双方的策略均是“什么都不做”，将行动数增加到 ，结果不变。同样的，我们将原博弈中先手的一方称为黑方，而后手的一方称为白方。对任意 ，我们用 表示黑方的第 步，用 表示白方的第 步。用 表示黑方胜，那么 就是白方胜或者平局。注意“黑方有必胜策略”等价于

那么“黑方没必胜策略”等价于

而右式等价于“白方有必胜或者平局的策略”。同样的，我们能证明“如果白方没有必胜的策略”，那么“黑方有必胜或者平局的策略”。联合起来，就得到了我们的定理。

定理：有无穷多个素数可以被表示成两个整数的平方和

证明：根据费马平方和定理，可知素数p能被表示成两个整数的平方和当且仅当p=2和 中的一者成立。因此问题被转换成了证明有无穷多个素数满足模4余1：

现在我们就来看看已经被 @Aries 玩出花的Dirichlet beta函数： 。利用奇偶项的展开，可得：

由以上公式可知，若要将Dirichlet beta函数转换成Dirichlet级数，我们要求g满足：

读者不难发现g是完全积性函数。因此有：

根据把g的定义展开，得：

再经过一些调整，可得：

假如满足 的素数数量有限，则右侧的乘积收敛，且根据 有：

但事实上 ，产生矛盾，所以存在无穷多个能被用4k+1的形式来表示的素数，意味着有无穷多个素数可以被表示成两个数的平方和。

Q.E.D.