为什么物理规则几乎都是乘法？ 第1页

这是为着满足量纲不变性的要求。

（物理大战数学乱入ing：一大波来自所谓《量纲分析》的学科内容正在靠近……）

简单地说，一个有意义的“物理规则”若用一个关于某些物理量的方程表示，则应不依赖其计量单位之选择（比如最简单的牛二，力关于加速度成正比，这个比例关系就不依赖于作为比例系数的质量单位是用“千克”还是用“克”。它既不会因为你将质量单位取为“毫克”就与加速度的二次方成比例，也不会因为加速度用“千米每毫秒二次方”就变成了关于质量的双曲余切函数），而满足这种条件的数学形式 必然 是各相关物理量的齐次函数（论证在本答最下方），即：

定义（齐次函数）：令 为一个域，向量空间 到向量空间 上的一个 次齐次函数 定义为满足条件： 的映射。

【背景：选择这一数学定义的物理动机在于——计量单位的转换，实际上相当于乘一个系数（所谓换算，多数都是做这件事）。换言之，就是同量纲的单位间互成比例。数学上，这等价于缩放变换 。】

而齐次函数里最典型的例子就是关于诸元的单项式（先自己跟自己乘几次，再跟别的乘一起）、齐次多项式（齐次单项式们赶快乘好！各就各位～预备——加）和齐次有理函数（齐次多项式们，谁在上谁在下商量好，商量好了除一发），大部分常见的物理方程式无外乎此。

【思考题：既然如此，为啥斯涅尔定律（Snell's law）里面居然有正弦（正弦显然不是齐次的）？果真没有打脸吗？】

（2017.9.22更）

我这个人很不喜欢对别人的答案指手画脚品头论足，但今天实在看不下去，不得不正式评论一下那些“乘法本质上就是加法”的答案。

对于这样的回答，我只想问一个特别简单的问题——在你们的世界里，有没有一个叫做“超越数 ” 的物种存在？

两个超越数相乘，我才疏学浅，您要不让我长长见识——给我“加出”它们的乘积？

加不出来不要紧，但也请您注意——

1. 不要说“超越数只是个例，总共才有几个？”这种一看就没正经学过高等数学的外行话哦（尽管这么说会让您显得年轻，还拥有着孩提时期的天真可爱，但这件衣服真的不适合您，还是请您放下，别拿了）。
2. 也不要说“超越数只是数学的畸形产物，物理上不重要”这种话哦，以免露怯——压根没见过带 和 的物理学公式（高中文科班，物理选修1的电学没学吧？嘻嘻～）……

【OS:本来我以为是我幽默感欠缺，没意识到这样回答的答主们是恶作剧，谁知道几天没看这样的答案竟然出来这么多？？不禁让我怀疑给出这种答案的数学水平莫非还停留在小学初中有理数运算那会儿吗？拜托，要真这样就别强答了好嘛……】

（2018.1.9更）以下补充“在缩放变换下不变的函数是齐次函数”的数学论证。

在量纲分析的理论中，物理规律被视为一物理量关于另一系列物理量的函数关系。为简明起见，首先仅从一元函数的情形开始——设某一物理量 与另一物理量 之间存在物理规律 。

量纲分析的基本原理是相似不变性假设：令 ，则有 。这正是“物理规律不因单位换算而改变”这一原理的数学表述。

由此可见，比值 应仅依赖于单位换算的系数 ，亦即以 为自变量的一元函数 。那么，欲证 的齐次性，只需证明 即可。

首先，可以看出 ，因为按照 这一定义，有 ，依相似不变性假设，作代换 并不会改变此式，故 。

对 两边求 的导数，得到 ，然后令 ，得到常微分方程： ，分离变量可得 （其中 是常数），两边直接积分【用到 （积分常数项全部合并为一项 ）】得到—— 。由于 ，故 ，因而得到 。

多元函数的情况是平凡【仅依物理量的不同而被分别赋予了各自的 值】的，可由以上论证直接推广【把常微分换成偏微分，照这个手续，把物理量们挨个儿走一遍】而得—— （不失一般性，所有的物理量作为自变量时都视为向量）。