怎么用下面的不等式刻画凸性？ 第1页

谢邀，这个不等式叫做Hermite-Hadamard不等式, 具体表达式为

.

当然了，这里是证明相反的结论，也就是只要这个不等式成立，那么这个函数就是凸函数。

思路是是这样的，我们需要知道下面这个定理

Theorem 1: 一个连续函数 是凸的当且仅当对于任意实数 和一个闭区间 ， 的最大值在 的某个端点取到。

根据这个定理，我们发现对于任意 , 不等式成立

依然成立。同时，上面这个不等式也说明了函数的最大值只能在某个端点取到。否则的化，如果在一个区间 的内部某点 取到最大值 ，因为 连续，所以 是一个闭集，有因为对于任意 , 我们发现存在一个 使得 .因为 总是成立，所以我们在 上有 .从而 是一个开集，所以它只能等于 . 从而这个函数是一个常数，矛盾。

下面我们证明定理Theorem 1的关键一部分，也就是其充分性（必要性这里用不上）。 为了证明这点，对于任意 , 我们构造一个 使得 , 也就是 .

根据 在 上只能在端点取到最大值，于是我们发现

, 由此可得 而

, 这个就能得到函数上凸的了。

最后一步用的是下面这个结果：

凸函数的（常用）等价定义一般有5-6种，做这些问题的关键是选哪一种。