是否存在一个级数的∑an使得任何其他级数,只要通项大于它的都发散,小于的都收敛? 第1页

不存在。这里只讨论正项级数，任意项级数不存在比较审敛法。

（du Bois Reymond定理）对于任意一个给定的收敛正项级数 ，一定存在一个收敛正项级数 ，使得 ，反之，（Abel定理）对于任意发散正项级数 ，一定存在发散正项级数 ，使得 。

证明：

考虑收敛正项级数的余项 ，容易知道 单调减趋于0，令 ，记 ，容易验证它满足 ，并且 ，从而找到了需要的 。

同时，对于发散级数 ，可以找 。此时 不言自明。考虑柯西收敛准则证明 发散：

由于 发散，所以对任意n，容易找到一个p，使得 ， ，这样就知道它是发散的了。

这说明无论是判断收敛还是判断发散，都不存在一个级数能作为“收敛最快/发散最慢”的标准。

PS，原题问的是数列，我想数列之间判别收敛根本都不需要比值判别法。所以我修改了题目。

如果题主希望问的是通过比值法，用一个数列来判断另一个数列极限是否存在，那这样的题目描述是不合适的。对于比值极限 ，按定义展开即为 ，取合适的 （如 ）展开这个式子，在保证 情况下，有 ，这样两边求和才能得到 收敛性与 之间收敛性的关系。至于用它来判别数列的极限是否存在？那显然是没有道理的。