这张算数入门图（一只兔子加一只兔子）里的题在算什么？ 第1页

@Kushim Jiang 给出了图中第一个公式的证明，下面证明第二个公式（即连续形式的Stirling公式）

由图可知， 所以

而根据离散形式的Stirling公式，有：

其中 为某待定常数， 为周期延拓的一阶伯努利多项式。现在再根据Gamma函数的极限定义^[1]，得：

求对数，便有：

对于红色部分，利用(1)可得：

对于蓝色部分，带入欧拉-麦克劳林公式（Euler-Maclaurin formula），得：

红减蓝，得：

回代至(2)，得（定义 ）：

令 便有：

对于绿色积分，我们很容易得出：

带入回去我们便得到了连续形式的Stirling公式：

确定常数A

尽管现在我们已经完成了原图内容上所有公式的推导，我们仍然对A感到好奇。为什么不顺便把它搞出来呢？

根据Gamma函数的Legendre倍元公式（Legendre's duplication formula）^[2]，有：

求对数，便得：

利用(3)，可得：

回代至(4)，便有：

现在根据 ，我们便能通过计算极限 来得到A的值：

带入回(3)，我们就得到Stirling公式的最终版本：

倘若对(4)求指数，则得Stirling近似公式（Stirling's approximation）：

参考

1. ^Gamma函数的那些事儿（1）——定义 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/114041258
2. ^勒让德倍元公式如何证明？ - 知乎 https://www.zhihu.com/question/403116146/answer/1300619113

注意到 ，考虑化成 Euler–Maclaurin 求和公式的形式。

对任意闭区间 连续开区间 可导的函数 而言，

注意到图中的

考虑取 ，从而取 。于是 (1) 式特化为

由于 ，。

另外，注意到 ，从而整个公式段的 函数解析式唯一。考虑到等号左边一直是 的形式，应该在讨论 Stirling 公式之类的事情吧。