数系从有理数扩充为实数的跨越有无产生一些问题？ 第1页
1
yuhang-liu-34 网友的相关建议:
谢邀。
实数不仅仅是对有理数在代数运算下的完备化，而是在度量空间意义下的完备化，也就是对通常的绝对值取完备化，也就是取柯西列——不好意思严格定义实数要有一点点数学分析的常识，这个问题没你想象的那么简单。而如果对有理数上其他的绝对值——也就是p-adic绝对值取完备化，得到的就是p-adic数 。
而有理数在代数运算下的完备化，就是所谓的代数数，也就是所有有理系数多项式的根——这个按照定义是包括虚的代数数的。代数数再按照通常的绝对值取完备化得到的是复数。题主提到的开方运算封闭的数，都是代数数（的子集）。单靠这些不能给出全部实数，因为还有超越数。
题主想深入学习可以学数学分析、抽象代数（尤其是域扩张和Galois理论）等等，这些都是本科数学标准内容；我没读数学专业以前也有很多类似这样的困惑，后来这些困惑大部分都自然而然解决了。很多时候我们在数学上想不通一个事情，真的就是因为我们学得不够多。
1
相关话题
实数完备性的基本定理为什么是 6 个？怎么积∫[0, 1] ln(1＋x²)/(1＋x) dx？
√π 和 π 哪个更无理？
高次韦达定理是什么？如何证明？
这个赌局的漏洞在哪里？
如何证明下面有趣的积分问题？
如果有一个初三学生说他懂微积分，我该怎么应对？
学习质数理论有什么实用之处？
点集拓扑为什么要这样定义？具有几何意义吗？
为什么现代数学经常会关心整体性质？能不能举例详细说说？
前一个讨论
相对论速度叠加为什么和tan和角公式长这么像？
下一个讨论
人们是如何想到奇异值分解的？
相关的话题
阿贝尔定理有什么哲学思想？为什么A的行列式不等于0 A满秩?
请问这道题用麦克劳林该怎么做?
请问此拉马努金连分数公式如何证明？
如何证明y＝cosx²不是周期函数？
不同国家和制度的数学PhD成才率（永久学术职位）是多少？有多大差别？
我该怎样劝说孩子学会均衡发展？
在图像处理中，散度 div 具体的作用是什么？
如何评价上海交通大学数学系数学分析证明题都考原题?
是否存在这样一个非常数函数，定义域是实数集或其子集，值域仅为有理数集子集？是否有这样的函数是连续的呢？
为什么用bernstein多项式，逼近[0,1]上的连续函数时，多项式超过60多次就不收敛了？
魔方运用了哪些数学原理？
请问这道无穷级数题有什么巧妙的解法?
你有没有在某个瞬间觉得数学是美的，或者被数学震撼到？
为什么人类选择了十进制？
数学思维与工程思维的区别与联系是什么？
这道题怎么做?不懂？
为什么写程序的时候可以坚持很久，但是学习数学就很难保持注意力？
如何证明 2 的平方根不是有理数？
如何定义数？
相关系数和R方的关系是什么？
如何看待京都大学的望月新一教授证明「ABC 猜想」，发表在其主编的期刊上？
知乎现在都有哪些值得关注的严肃输出？
为什么这个极限题等于0而不是等于1？
为什么欧几里得在《几何原本》中的第四公设要设定所有的直角都相等？
有哪些不错的数学、物理类的「闲书」？
二重积分经过变量变换后，为什么原有闭区域的边界点也是新区域的边界点？
是否存在实数a>1使得数列sin(a^n)收敛？
如何估计如下的无穷积分不等式？
拓扑学上的紧致性怎样理解？有何运用？