点集拓扑为什么要这样定义？具有几何意义吗？ 第1页

完全可以用集合知识导出？题主你真的看明白了那三条定义说的是什么意思了么？

所谓一个拓扑，说的是在一个集合上给出了一个指定方式，来指定哪些子集叫做『开集』。这个指定方式是完全人为的。同样的一个集合，完全可以在上面定义不同的拓扑，使得一个拓扑下的开集在另外一个拓扑下不是开集。就比如在实数轴R上有最自然的把开区间叫做开集所导出的拓扑，R上还可以定义另外一种拓扑，离散拓扑，也就是把R上的所有单点集叫做开集所导出的拓扑，这两个拓扑下的开集很明显是不一样的。而且在实数轴R上还可以定义更加稀奇古怪的拓扑。

所以题主你为什么会觉得这些完全不一样的指定方式可以用集合知识导出？我甚至都无法理解你到底想错到了什么地方去了。所以只能建议你再去看看书上的定义和例子。又或者像 @Yuhang Liu 说的那样，『先去看看欧氏空间中的开集闭集长啥样』。

关于拓扑和几何的关系。简单来说所有的几何学的研究对象都是拓扑空间，只不过不同的几何会在上面添加不一样的条件，使得它所研究的拓扑空间带上某个附加的结构。比如微分拓扑相当于是在研究一种叫做『流形』的特殊的拓扑空间。微分几何则可以看做是在微分拓扑的基础上加上叫做切丛和余切丛的结构，黎曼几何则是在微分几何上加了一个黎曼度量，从而可以考虑『距离』和『弯曲程度』等问题。

一般来说，附加的结构和要求越多，所研究的对象就越具体，研究的方法和结果就越多。