能否通过列举一些代数式、方程加以分析、说明，直观解释阿贝尔定理（Abel–Ruffini th.）？ 第1页

如果不用Galois理论可以直接看Abel的原始证明（比较繁琐）。[1][2]

用现代方法的证明思路是：

1. 若一个多项式方程可以用根式解那么意味着存在关于其系数的代数函数使得，这里可以写成形式，这里也为代数函数。所以用归纳法可以证明存在域扩张，使得，这里。
2. ，这是因为的所有根由给出。
3. 由Galois基本定理存在使得。
4. 由于5阶及以上的一般n阶方程的Galois群可以取得S_n，但容易证明当n>=5时3中的合成群列不可能出现，所以没有根式解。

一个Galois群是的例子是，这是因为它的Galois群显然包含5阶循环群（Sylow），另一方面其恰含有两个复根所以包含一个对换，用对称群的一个简单结论可以知道其为S_5。

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至于知道Galois群后如何求出方程的根，可以用如下方法：

首先考察n阶循环扩张E/F其中F包含n次单位根，由Kummer定理可以知道E=F(a)，这里a^n∈F。由Noether方程可以知道a对应于Gal(E/F)的特征标群生成元。

所以我们通过递归调用上述算法，即可得到任意可解Galois群的根式扩张。用这个方法也可以推出3,4次方程的根式解，这也是拉格朗日预解式得原始思想。

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至于知道多项式后如何求出它的Galois群，可以参考：

事实上这些东西在现在的计算机代数系统比如Maple,Magama等都有实现。

Reference

[1].

[2].

[3]. 现代方法可以参考E.Artin 的 Galois Theory.