数学中有哪些巧合让人眼前一亮？ 第1页

（多图预警）

2017.02.28

很荣幸这篇回答被收入了知乎日报。感谢日报：）

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我想讲一个故事。这个故事我已经想讲很多年了。

故事的开头，先从几个（数学竞赛党们）耳熟能详的定理说起。

我们都知道，每个三角形都有外接圆和内切圆。它们的圆心，分别称为外心和内心。外心是三角形三条中垂线的交点，而内心是三条内角平分线的交点。这也许是平面几何中，最简单、也最广为人知的巧合。

（不要吐槽配色……随手画的）

然而，对于四边形来说，这个性质一般来说就不对了。绝大多数四边形，既没有外接圆，也没有内切圆。

过三个顶点的圆可以不过第四个顶点，和三条边相切的圆也可以不和第四条边相切。

不过总有一些比较幸运的四边形，它们有的有外接圆，有的有内切圆。这些幸运儿们也有着一般的四边形所不具备的优良性质。

比如说，假如一个四边形有内切圆的话，那么它的对角线、对边上的切点的连线四线共点。

这是一个漂亮的巧合。而这个定理的名字，叫做牛顿定理。不错，就是那个发现了万有引力的牛顿。

现在让我们的目光转向更为复杂的图形，六边形。
既然大多数四边形都没有外接圆和内切圆，那大多数的六边形就更没有了。不过，我们只关注那些幸运儿们。它们的身上，也有着不同寻常的巧合。

比如说，对于有外接圆的六边形来说，将它的三组相对的边分别延长相交，所得的三个交点共线。

这里，相对的边这样解释：将六条边顺时针编号为1,2,3,4,5,6，那么编号为1和4,2和5,3和6的三组边分别称作相对的边。严格地说，这里需要每组相对的边都不平行，这样才有交点。
这个定理也十分有名，被称作帕斯卡定理。 这里的帕斯卡，也就是大家都认识的那个帕斯卡。

对于有内切圆的六边形来说，有一个更为简洁优雅的巧合：三条主对角线一定相交于一点。

这个定理相对来说较为小众一些，它叫做布里安桑(Brianchon)定理。
注意这个定理和牛顿定理不同，因为对边的切点连线一般不会共点。

到这里为止，数竞党们大概都十分熟悉。下面的才是正题。

如果说有内切圆或外接圆的多边形是幸运儿的话，那么下面所要提到的双心多边形，则可以说是集万千宠爱于一身。

双心多边形，顾名思义，就是既有外心，又有内心的多边形。换句话说，它们既有外接圆，又有内切圆。

在高中的时候，我做过一道竞赛题。它是1989年的IMO预选题，题目很简洁，也很漂亮。

还记得牛顿定理中四条线所交汇于的那个点吗？这道题要求证明，假如牛顿定理中的四边形是双心四边形，那么这个四线相汇的点也在内心和外心的连线上。

换句话说，就是双心四边形两条对角线、两条对边切点连线、两个圆心的连线这五条线相交于同一点。
这道题看似复杂，其实并不难。假如知道和配极相关的基本结论的话，证明几乎只要三行字。

2011年10月初的一天，当时高三的我看到了上面这道题目。我很快就做了出来。然而，面对如此漂亮的结论，很难不让人浮想联翩：如果把这道题中的四边形换成六边形，会怎么样呢？会不会从五线共点，变成七线共点？

我的直觉告诉我，这个结论对于六边形很可能是错的。因为对于有内切圆的四边形来说，牛顿定理就保证了四线共点，加上一个外接圆的条件，结论只是多一条线（圆心连线）经过这个点。
而对于有内切圆的六边形来说，Brianchon定理只能保证三线共点，而加上一个外接圆的条件，居然要证明七线共点，也就是多四条线经过这个点。这怎么看都不像是对的。

然而我还是将信将疑地打开了几何画板。 由于我不知道怎么用尺规作出双心六边形，所以只好近似作图，花了好久才画了一个相对精准的图。画完图的一刹那，我就惊呆了：

这特么居然是对的！面对如此漂亮，还是自己猜到的结论，我当即决定试着证证看。
事后看来，这大概是我十年竞赛生涯中做过的最难的两三个几何题之一。不过好在对于六边形来说，有帕斯卡和布里安桑先生们的保佑，问题还不算难得太夸张。尽管费了将近两小时，我还是把它证出来了。

证完之后还没顾得上得意，又一个邪恶的念头从我脑子里冒了出来：既然这个巧合对四边形六边形都成立，会不会对八边形也是成立的呢？
虽然我很希望它是对的，但是冷静下来一想，我还是觉得它怎么都不像对的。因为对于双心六边形来说，Brianchon保证一个三线共点，Pascal加上配极又保证一个三线共点，下面只要证明这两个点是同一个，还在圆心连线上就可以了（这也是我的证明思路）。但是到了八边形，Pascal和Brianchon都没法保佑我了，这鬼东西如果是对的谁能证得出来？
然而抱着将信将疑的态度，我还是决定画个图。
……
……
……
……
……
……
是的，和你们想的一样，我又被打脸了。这玩意还真特么就是对的！

这时候我已经在风中凌乱了。我实在是没法想象这鬼东西能怎么证明…………然后又一个可怕的念头闪现了出来…………这破玩意该不会对所有2n边形都成立吧？

我当即决定画个图。既然我都肯定证不出来了，干脆搞个大新闻，直接翻个倍，画16边形吧。

后来的事情你们应该也猜到了…………半小时之后画完图，我看到的画面是这样的：

我感觉整个人都斯巴达了。

我相信自己一定发现了一个不得了的东西，就拿着这东西去问竞赛圈一个有名的老师。他告诉我，以前在一个数学论坛上有人提到过这个结论，据说（未经证实，我猜很有可能不完全对）某个国家队的大神（不说具体是谁了）也发现过这个结论，还给了一个对于一般情况的物理（黑人问号脸）证明。具体是什么他也不清楚。

尽管没法自己证明这个定理，但我还是深深地被这个结论的壮观与美丽震撼到了。我告诉自己，一定要拿到数学联赛的一等奖，然后保送去北大的数院继续学数学。

然而我并没有如愿。

一周之后的联赛，我只用了三分钟就做出了平面几何大题。尽管其他发挥不太理想，我还是顺利获得了保送。在保送生面试中，北大的招生老师问我，想学什么专业？我毫不犹豫地回答数学。
然后他问：还有别的吗？
我想，他大概是觉得我的联赛分数还不够高吧。所以最后我来到了北大，但没有去成数院，一年之后又阴差阳错地决定不转系，从此远离了真正的数学。

故事还没有结束。一年多前一次偶然的机会，我从知友 @rainbow zyop 那里知道了这个定理的来历。
这个定理被称为彭赛列(Poncelet)定理，是数学家彭赛列在1813年法俄战争中，在俄国萨拉托夫的战俘营中发现的（这是有多么闲的蛋疼才能证出这么诡异的定理……）。在彭赛列发现这个定理的两百年后，2014年9月的美国数学月刊上，两位来自苏黎世理工大学的数学家发表了一篇题为《彭赛列定理的一个简单证明》的论文，给出了这个定理的一个初等证明。 不过，这个“简单”的证明长达12页。（虽然我知道12页的初等证明对于这个问题来说应该已经算短了……）
有兴趣的读者可以参考http://user.math.uzh.ch/halbeisen/publications/pdf/poncelet.pdf 。

我想，这大概算是我见过的数学中最美丽的巧合吧。时隔五年后的今天，我还能想起那个十月的下午，发现这个神奇的结论时激动的心情。我真的很怀念当年参加数学竞赛的日子，那种单纯地喜欢数学之美的时光。

最后我想用罗素的一句话结束这个回答。

欧氏几何如同初恋般美好。

（多图，流量党慎入！）

谢邀，我来讲一个四年前的故事。

初三的某节数学课上，我突发奇想：

在圆周上的n个点两两连线，最多可以把圆分成几份？

（不要问我为什么会突然想到这个问题……）

于是我就拿出纸和笔开始画起来——

一个点显然连不了任何直线，所以整个圆还是1份；

两个点之间可以连一条线，这样圆就被分成了2份；

三个点可以连成一个三角形，圆被分成了4份；

四个点两两相连把圆分成了8份。

啊，这个规律似乎已经很明显了，1、2、4、8，那么下一个肯定是16嘛！

果不其然，五个点两两连线，圆被分成了16份。

于是，我觉得自己已经解决了这个问题，直到……我决定再加一个点。

为什么是31份？？？？

我又数了一遍，还是31份，并且在圆内也没有出现三线共点的情况……

这是什么情况？？？？

于是我又加了一个点：

七个点，57份。

啊，这下跟2的幂彻底没有关系了。

那规律到底是啥呢？

在与几个朋友一起讨论了数个小时之后，我们找到了答案。

为了分析这个问题，我们不妨先好好审视一下其中的一条直线，看看它是怎样把圆分割开的：

以上图中突出显示的这条线为例，假设它是从左往右画上去的，我们重现一下画图的过程：

从左端点开始，慢慢向右画，每当它碰到一根其他的直线段时，它就把某一块区域彻底地分成了两份，于是总份数就多了一；而当它最后抵达圆周右侧上的点时，总份数又多了一。

也就是说，圆内部的每一个交点都使得总份数增加了一；除此之外，每一根直线段最后抵达圆周时，总份数也增加了一。

所以，总份数应该是 1 +『圆内部的交点数量』+『直线段的数量』。

为什么会有一个1？因为圆本身最开始就有一份啊。

我们先来求直线段的数量——这个很简单，由于n个点中每两个点之间都可以连一条直线段，所以这就相当于是在求『n个点中选2个点有几种选法』，也就是.

那圆内部的交点数量怎么求呢？

注意，虽然每个交点都是由两条直线段相交而成的，但我们并不能把这个问题简化为『m条直线段中选2条直线段有几种选法』，因为并不是每两条直线段都相交的。

那怎么办？

（再往下继续看之前，大家可以自己先想一想=w=）

（提示：对角线）

啥意思？

再放一张图来提示一下：

好了我要说答案了：

我们可以把圆内部的每个交点看成是某个圆内接四边形的对角线交点，于是在n个点中，任意四个点的组合都对应了圆内部的某个交点。

所以求圆内部的交点数相当于是求『n个点中选4个点有几种选法』，也就是.

于是我们最终的公式是：

啊。问题解决了……

吗？

等等，我还没回答题主的问题呢。所以说这有啥『巧合』？

没什么巧合。至少当我在初三那年找到了上述解答之后，我觉得没什么巧合，问题已经解决了……

直到半个月前我看到了这个视频：

我真想狠狠扇自己的脸！我当年竟然没有多问一句：

为什么当n比较小的时候，份数恰好是2的幂？

而且，当n等于10时：

256份！又是2的幂！

为什么？？真的只是巧了吗？？？

我非常赞同

在回答中所说的：

数学中所有美的巧合都有其更深刻的原因，绝不仅仅是巧合。

所以说这到底是为什么呢？

原因跟这个东西有关：

这不就是杨辉（帕斯卡）三角形么？除了最左与最右的1以外，每个数都是由其左上与右上的两个数相加得到的。这我早就知道了，可是跟这题有啥关系？

啊，说得很对，杨辉三角形的构造方法确实很简单，不过……让我们算一算每一行的和：

咦！为什么刚好是2的幂呢？

我们可以换一个角度来看杨辉三角形的构造方法：

每一个数被复制了两份，分别加进了左下角与右下角的两个数中。

所以下一行的和自然是上一行的两倍，而由于第一行的和是1，所以每一行的和就都是2的幂啦！

哦原来是这样，好有道理！不过这跟分圆有啥关系啊？

啊，这是因为，杨辉三角形还有另外一种形式：

我去！这是为啥？？

啊，这其实只需要证明就好了：

如果我们要从n个苹果里选k个苹果，那么我们有种选法；而假设n个苹果中有一个是坏苹果，那么这种选法中，选到坏苹果的有种（要在除去坏苹果的n-1个苹果中选k-1个），没选到坏苹果的有种（要在除去坏苹果的n-1个苹果中选k个），所以.

啊，当我把杨辉三角形写成这种形式之后，之前分圆的公式与2的幂的关系就很紧密了！

由于，所以实际上n个点情形的公式就是杨辉三角形中第n行第0、2、4列的和。（注意，我们是从0开始数的！）

比如，当n=5时，份数就是第5行第0、2、4列的和：

写成之前的形式就是这样：

由于每个数都是左上和右上两个数的和，所以这三个数的和其实就是上一行的和：

而我们之前已经说过，杨辉三角形每一行的和都是2的幂，所以当n=5时，份数是2的幂。

当n更小的时候，情况类似。

而当n=6的时候，问题来了：

写成原形式：

而此时，它们的和就不是上一行的和了：

少了最右边的一。

这就是为什么n=6时，结果是31份。

而当n=10时：

这三个数刚好是上一行的一半：

而2的幂的一半也是2的幂，所以n=10时，份数256就是2的幂啦。

这就解释了我们之前的『巧合』=w=

顺带说一句，杨辉三角形其实水很深，我们甚至可以在杨辉三角形中找到斐波那契数列，不过这里我就不细说了。

这篇回答的配图来自于

，不过我初三时的推导方法要比视频中的简洁得多。视频里用了欧拉公式，麻烦了不少，不过也挺有趣的。

那么就这样=w=

果真学习不好会被知乎大神们鄙视。的确，这个是你想明白了就没什么亮眼的东西，但你乍一看是不是觉得还挺好玩，哈哈。主要看没人提Pandigital的事，就放了一个答案在这，权当抛砖引玉。

----------一条线-----------

下面这个Pandigital Formula应该可以算是让人眼前一亮：

这个算式的左边是数学常数e，就是我们熟知的2.71828...。算式的右边则是一个Pandigital Formula，一个使用了 1-9 十进制数字的算式。[1]

这个近似有多准确呢？直至小数点后18457734525360901453873570位它和数学常数e都是一样的! [2]

这个算式由Richard Sabey发现于2004年（一个年轻的算式）[3]

类似的Pandigital Formula还有很多，也都很有趣，大家可以google一下:)

Informal Simple References:

[1]

[2]

[3]

log2(3) ≈ 19/12

这个式子意味着(2/3 * 4/3)^6 ≈ 0.5，于是用三分损益法能生出十二律（并且计算一下就会发现最终是均匀的）

以及一个稍差一点的

ln2 ≈ 0.693, 于是有了72/70法则，刚好2/3/4/5/6/7/8/9/10/12都能整除

音乐中为什么有7个音，为什么有升降号，为什么有和弦，都源自于数学中的巧合。

用五度相生律计算，五度比值为2/3，假如c1为1，那g1就是1.5，d2就是2.25，a2就是3.375，e3就是5.0625，再移低两个八度除以4，就是1.265625，所以小字一组CEG大三和弦为1、1.265625、1.5，按照五度相生律中的E有一点不协和。

但是按照纯律计算，大三度比值为4/5，假如c1为1，e1为1.25，g1为1.5，这个大三和弦听起来就非常协和了。

还有平均律，是以2开根号12次方为比值的，都是无理数，假如c1为1，e1约为1.2599，g1约为1.4983，感觉是不是极度不协和？确实是的，但是平均律方便移调，实际上现在的钢琴都用平均律。

其实各音频率差都非常小，以至于耳朵不敏感的人都听不出来。

所以三种律法的巧合导致12音体系的存在，七个白键五个黑键，其他无论怎么创造多少音的体系都不会有这么巧合现象存在了，比如为什么没有11音体系或13音体系，或者程序员喜欢的数字8音16音32音体系呢？

*********补充********

好多人没理解到巧合的含义，好像以为12音体系是人工创造的就就不存在巧合，我的意思是通过三种律法创造出的音恰好都是在有12个音时频率高度重合，而不是两两之间各自有重合的音，假如前两个律法在有10个音时重合，后两个律法在有12音时重合，那可能至今也没有一个合适的律法，还有平均律为什么开12次方就恰好能和其他两个律法高度重合而不是开其他次方？如果开50次方才能重合的话岂不是有50个音？

说个和计算机科学有关的例子.

如果是熟悉组合数学的话, 那么对代数数据类型一定不会感到陌生, 代数数据类型和组合集合几乎有相同的结构. 在代数数据类型与求导之间有个非常"巧合"与微妙的关系(不过准确来说数学不应该有巧合)

这里先简单介绍一下代数数据类型:

可以在类型(数据结构)和代数之间构造一个可逆映射(同构), 这就是为什么称为代数数据类型, 可以采用代数方式对类型进行运算.

类型可以定义为所有可接受值的集合

空类型(Void): 不接受任何值, 映射至自然数0

单位类型(Unit): 只接受一种可能值, 映射至自然数1

在类型上定义加法与乘法

加法:

乘法: (笛卡尔乘积)

可以证明类型上的加法与乘法具有代数加法与乘法相同性质(交换律, 结合律, 分配律)

并且空类型为加法单位元, 单位类型为乘法单位元.

接下来可以运用上面元素与运算构建新类型:

二元类型(布尔型, Bool):

接受两种可能值(True, False)

可映射至自然数2

整数型(Int):

接受0-2^31-1

可映射至自然数2^31

组(Pair):

接受两个相同类型构成的二元列表

将TypeX映射至代数x, 那么组类型为x^2

列表(List):

接受多个相同类型构成的列表

一个列表可以为空列表, 包含0个元素, 为Unit, 或者一个元素(列表首)后面跟着剩余列表. 这个为列表的递归定义. 对应的代数形式:

可以解出

进行泰勒展开得到

正好对应于长度为i的列表, 如上为二元列表.

二叉树(Tree):

一颗树可以为空树, 包含0个节点, 为Unit, 或者一个元素(树根)下为左子树与右子树. 这个为二叉树的递归定义. 对应的代数形式:

可以解出

进行泰勒展开得到

正好对应于总节点数为i的二叉树, 系数表示所有可能树的结构的数目[1].

接下来是最奇妙的"巧合"

如果对类型进行求导会发生什么

对一个有限类型集合(Unit, Bool, Int,...)进行求导

对组进行求导

对列表进行求导

对二叉树进行求导

求导产生了一个新的类型, 这个类型正好是原类型中从中挖去一个元素留下一个洞(Unit)的类型(One-Hole Contexts)

这种类型在函数式编程语言里非常有用, 对该类型乘元素类型补全, 将得到与原类型结构相同并同时拥有局部性的类型, 参考Haskell的Zippers

对于一个有限类型集合

挖去一个元素后该类型即为空, 即是0

对于组

挖去一个元素有两种可能 or , 即是2x

对于列表

挖去元素后列表断开, 剩下左半列表与右半列表, , 即是L(x)^2

对于二叉树

挖去元素后列表断开, 剩下以该节点为树根的左右子树和从树根到该节点的路径上的每一个节点与其非路径节点的子树构成的列表, 路径上的每一个节点的非路径节点子树有两种可能(左或右子树)[2]

即为:T(x)^2*L(2xT(x))

T(x)^2为该节点下的左右子树

L(2xT(x))为一个列表, 记录从树根到该节点的路径, 列表里的每一个元素类型为2xT(x)

2xT(x), x为路径上的一个节点, T(x)为该节点相连的非路径节点的子树, 2表示该非路径节点的子树应为左子树或右子树.

同时可以证明的是[2], 求导的基本性质与链式法则对于类型同样适用.

对于一个代数式进行求导有明确的分析意义. 但对于一个类型进行求导的直观意义就非常微妙了, 得到的是带有洞的新类型. 这之间的联系也许是"巧合", 也许揭示了类型与分析之间存在更为深刻的关联.

参考资料:

[1] Analytic Combinatorics, Flajolet and Sedgewick

[2] The Derivative of a Regular Type is its Type of One-Hole Contexts, Conor McBride

不邀怒答，来来来……首先请题主明白一点：数学中所有美的巧合都有其更深刻的原因，绝不仅仅是巧合。

1.Euler公式：如果是一个有个顶点，条边和个面的连通平面图，那么
上面的这个被称为的Euler示性数，于是就有更加牛逼的Gauss-Bonnet-陈公式：若是的一个紧的定向曲面，是高斯曲率，是Euler示性数，则
说个有意思的应用，对于极大多数有机物（就是说它的结构简式是可平面的），如果记为它的不饱和度，为其结构简式平面化后的面数，则

2.勾股定理：记为一直角三角形的三边长，为斜边，有
更进一步，我们有勾股定理的三维推广：若三棱锥的三条棱两两垂直，记为三个侧面和一个底面的面积，有.证明很简单，先将底面对每个侧面做投影，再将每个侧面对底面做投影，算两次就行了。

3.素数定理：记为不大于的素数个数，有
第一个关于素数分布规律的重大结果，永远的经典。在假定黎曼猜想的成立的前提下，有如下结果

4.调和级数：记，有
当然可以把上述估计式的误差项写出来，但实在没意义，还丧失了美感。更进一步，我们有：记，其中为第个素数，则 .美不胜收，美不胜收！从上面这个估计式可以毫不费力的证明素数的倒数和是发散的，进而显然素数有无穷多。

5.黎曼猜想与调和级数：同上定义，则黎曼猜想等价于如下不等式
惊艳！等价性由Jeff Lagarias证明，很难想像黎曼猜想这个世界上最困难高深的命题竟然与这个几乎完全初等的不等式等价！！如果要评选最美的数学巧合，我投它一票。

6.共点与共线：（Menelaus定理）中，点分别在边上，则共线等价于

（Ceva定理）中，点分别在边上，则共点等价于

难道我大Menelaus和大Ceva不美吗？？站在射影几何的高度上来看，Menelaus定理和Ceva定理是对偶命题，其中一个正确则另一个也正确。于是由对偶原则我们可以发现下面两组等价的共点、共线问题：

1）（Desargue定理）平面上有两个三角形、，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.

（Desargue逆定理）平面上有两个三角形、，如果对应边或其延长线相交的三个交点共线，则它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点.

Desargue定理的对偶命题即是其逆命题，因而两者是等价的，换句话说Desargue定理是自对偶的.

2）（Pascal定理）如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，则该六边形的三对对边的交点共线.

（Brianchon定理）如果一个六边形的六条边和一条圆锥曲线相切，则该六边形的三条对角线共点.

Pascal定理是Pappus定理的推广（两条直线可以看作为一条圆锥曲线），其对偶命题就是Brianchon定理，因而两者也是等价的。

7.共点与共圆：借助反演变换，我们可以发现共点与共圆的等价性.
不过反演中心的一条直线过反演中心的圆，于是就有不过反演中心的三点共线此三点的反演点与反演中心四点共圆.
这个定理也是相当惊艳，因此导出的下面两个等价命题更是其惊艳的应用：
（Sylvester定理）若平面上的一个有限点集满足，对于任意的，存在使得共线，则中所有点共线. （苏联竞赛题）若平面上的一个有限点集满足，对于任意的都存在另一定点使得四点共圆，则中所有点共圆.

8.Euler公式：
初看此定理难道没有一种“此题只应天上有”的感觉吗？更进一步，Euler证明了如下定理：

其中是Bernoulli数，前几个是
还有类似的定理：

9.Euler线定理：任意三角形中，重心，垂心，外心，九点圆圆心四点共线，且，换句话讲这四个点构成调和点列.
用向量可以毫不费力地证明Euler线定理.

10.自然数幂的和：
高票回答提到了，这其实是下面这个更一般定理的推论：

其中是Bernoulli数，是Bernoulli多项式.
这里稍微一提Bernoulli多项式：设是复数，满足下列方程的多项式称为第个Bernoulli多项式

特别地，为第个Bernoulli数.

11.Fermat小定理：设是任意素数，则对任意整数有.特别地，若，则.
很漂亮，很有用的定理，更进一步Euler对其有如下推广：记为不大于且与互素的数的个数，则对任意整数有，为素数时即为Fermat小定理.
特别提一句，对Euler函数有这么一个美丽的结果：

有不少证法，比较简单的一个是先证明对素数的幂成立，在证明若有

这应该没啥难度.

12.二次互反律：设为两个不同的奇素数，则

其中是Legendre符号.
怎能不提我大二次互反律，这可能是除勾股定理外证明最多的定理了，其重要性不言而喻，简直就是打开了二次剩余理论的大门啊。二次互反律相当深刻地揭示了方程与之间的联系，而且形式又如此简单，当是数学中最美妙的几个定理之一了。

13.代数基本定理：每个复系数非常数多项式在复数域内至少有一个根.
最最有名的定理，当然可以加强成次复系数多项式在复数域内有且仅有个复根。稍弱一点，我们可用数学归纳法证明：次实系数多项式多项式至多有个实根。值得一提的是，如果你注意到同余“”本质上 跟等号没有区别，就会发现这跟数论中的Lagrange定理是等价的：
（Lagrange定理）次同余方程至多有个根.
怎么样？是不是有种神清气爽的感觉？

14.不等式：各种不等式虽然算不上巧合但是不美吗？
（Cauchy不等式），则 （加权均值不等式）若，则 (Schur不等式）对任意的及， （Murihead定理）对于任意的及，若，，则

不等式简直美呆了……多年经验来看，Schur不等式和Murihead定理都比较精密，应用起来也相对暴力一些。

15.Hall定理：设二部图的两部分分别为，，中一组无公共点的边，一端恰好组成中的点的充分必要条件是中的任意个点至少与中的个点相邻.
Hall定理又被称为完美匹配定理，最最常用的故事大概就是说：有个男生向个女生表白，已知任意个男生至少喜欢个女生，则存在一种分配使得所有男生都能与自己喜欢的女生牵手。“虐狗定理”……七夕快乐：）

16.Cayley定理：阶完全图有棵生成树（顶点不同但同构的算作不同的生成树）
超级漂亮的结论，有好几种神奇的证明方法（隐隐约约记得貌似有线性代数的？？），我们有如下强得多的结论：（Matrix-Tree定理）记分别为图的度数矩阵和邻接矩阵，我们称矩阵为图的Kirchhoff矩阵（也称Laplace矩阵），则的生成树个数等于其Kirchhoff矩阵的任意阶代数余子式的绝对值.但是要从Matrix-Tree定理中直接得到Cayley定理也不是那么简单，很难。

17.Turan定理：若个顶点的图有条边，且中不含三角形，则.
等号是可以取得的，作为习题自己构造去……（提示：考虑二部图）
Turan定理揭示了这么一个原理：当一个图的边数足够多时，这个图会出现相当多的特定结构。
更进一步，Turan证明了：若阶图不含阶完全图，记，则的边数.这个等号也是能取到的，构造也是考虑部图。

18.Kuratowski定理：一个图是可平面的，当且仅当它不含或构型.

所谓可平面的，即指一个图可以画在平面上且不存在相交的边。由Kuratowski定理可以看出，最简单的不可平面图就是和了：

这是相当厉害的定理，给出了一个图是否可平面化的判定标准。前面说过，几乎所有有机物的结构简式都是可平面的，这里就能说清楚了：什么有机物能既含或又能稳定存在？？不多吧，反正烃和卤代烃不行。

19.Ramanujan的逆天公式
说起数学之美，怎能不提Ramanujan的各种反人类的公式呢？随便举几例，你们感受下：

（这个级数收敛极快，取第一项就能精确到小数点后8位）

如果，则

如果，，则

如果且，则

膜拜吧，人类！！无以言表，五体投地，伏地膜……

长注：这里要说一下，题主提的Euler虚指数公式多数情况下讲并不是定理。Euler的这个公式最先是Euler通过极不严格的变换求和顺序从Taylor展开中得到的，Euler并未说清楚它的严格性；再一点，当时并未定义什么是虚指数以及涉及复数的无穷级数敛散性，因此Euler公式多半是定义了什么是虚指数，而非一个关于虚指数的结果，也就是说它是个定义而非定理；第三点，Euler的“证明”说明了这么定义虚指数是合理的，即不会出现矛盾，从这个方面看它还是有积极的作用的。

修改补充：前面说得有点问题，在单元函数的复分析中，首先是定义的对数函数，再将指数函数定义成的反函数，这跟实分析中的先定义（即）再反过头来定义指数函数差不多。

记函数，定义其构成的积分路径上的积分为

然后定义对数函数，利用上面的定义是可以算出（记），接下来定义指数函数：

定义：如果的任何一个值等于，就称是的反函数，并记为.

确实可以从这个式子中算出Euler公式，但毕竟定义不同是不是？？（傲娇脸）上面这个定义是Hardy的《A Course of Pure Mathematics（纯数学教程）》给出的，并不需要Euler公式；我记得北大陈天权老师的《数学分析讲义》中是使用无穷级数定义的三角函数和自然对数，是不是就要用它来说明定义的合理性了呢？？

上学时，数学竞赛获得优胜，主办方额外送了本书《Proofs Without Words》，里面有很多脑洞大开的巧合：

证明：

步骤再详细点：

证明：

证明：

证明：

...

证明

进阶一点，三角函数：

证明：

证明：

证明：

证明：

证明：

如果感兴趣，可以在网上搜 Proofs Without Words，共两本。

附下载链接（从俄罗斯的找到的，所以速度较慢）：

第一本：

第二本：

当然，还是支持正版：

第一本：

第二本：

额。。。啥时候又出了第三本了。。。

神奇的把结合在了一起.

可以用Mathematica验证下...

       NIntegrate[E^(I Pi x)x^x (1-x)^(1-x),{x,0,1},WorkingPrecision->40]-I Pi E /24.0      

取围道C:

我乎支持的TeX命令有点少,连LaTeX这个命令都报错.....

另外γ估计乘不进去了...带γ的只有多对数函数Li或者调和函数Hn...这个系列和指数E^x,x^x不兼容的...

很多答主都是玩数学竞赛的，我作为一个曾经的物竞党也来讲个有意思的经历吧。

记得那年我高二，觉得竞赛很有意思，弄了点书自己看，自娱自乐，觉得挺好玩。

由于起步很晚，所以当时看了一点高数，懂一点微分，会一点级数展开，就开始对着物理书瞎折腾，刚好看到弹簧那部分，照着最基本的模型列了一个微分方程：

列完之后懵逼了，当时还不知道啥叫微分方程，也不会解，愣了一会儿

想了想普物里面经常整些几阶近似开啥的，自己也只会这个，于是就开干：

妈的，直接设

然后往方程里一扔：

我当时也是没见过世面，看到自己整出来这一坨，又懵逼了

咋办呢，都走到这一步了，干脆一不做二不休，继续折腾！

反正k和m都是常数，直接

令

于是稍微好一点了：

然后忽略掉方程两边相同的部分，得到一个等式：

一看，只要知道了，那么等等都有了

有了的话，也没问题！

但是我们这里也不造是啥，咋办呢

管他的，令

嘿嘿，这下好算了

经过一番折腾，得出来一坨东西

我一看，惊了！立马想到了

可惜不对……

但灵光一闪，又想到了三角函数：

我心里惊呼一声，卧槽！不会是巧合吧？！

然后多列了几项验证了一下，发现不是巧合……

于是经过修修补补，得到方程

解为：

这还没完，刚才的那个展开式和长得太可疑了吧

但直接把扔进方程里面是不对的，于是修修补补，瞎折腾半天，发现！

是满足方程的！！！

（后来才发现还漏了一项........）

等等，我怎么感觉这两个解这么奇怪：

一个是

另一个是

啥？！三角函数和指数函数是同一个方程的解？！

后面的就简单了

我把直接展开，长这个样子：

直接把奇数项拿出来，就等于cosx

而偶数项，经过观察，实际上就等于sinx乘上一个虚数i

所以……

我当时整个人都疯了，这尼玛是啥？！我算错了？！我特么怎么整了个这个东西出来？

于是花了一下午反复地计算，折腾了好久发现应该不是幻觉，也没弄错……

直到后来某一天，我看到一个东西叫欧拉公式……