数学中有哪些巧合让人眼前一亮？ 第3页

个人认为完全四边形是欧式几何中最神奇也是巧合最多的图形啦ヾ(*´∇`)ﾉ

首先是完全四边形的定义:(其实直接看图就很好理解233)

我们把两两相交,且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形。

显然图中有四个三角形：ΔACE、ΔABD、ΔCDF、ΔBEF

巧合如下:

1.完全四边形中四个三角形的外接圆共点，此点称为密克点

↑个人感觉这是最美妙的一条性质了

三圆共点就很不容易居然有四圆共点！！！！

2.完全四边形中四个三角形的垂心共线，称为垂心线。

3.完全四边形三条对角线(上图中的AC.BD.EF)的中点共线，这条线也叫做牛顿线(到处都有牛顿233)。牛顿线和垂心线垂直

还有好多性质就不一一列举啦⊙﹏⊙总之这个图形真的好厉害www

那必须是我大切聚点！

如图，三条连接三角形的三个旁心和内切圆在三个旁心对应边切点的直线共点，这一点称为切聚点，编号X(57)

切聚点具有哪些性质呢？

切聚点和三角形的一系列伪圆——伪内切圆、伪外接圆、伪旁切圆等等密切相关，且看：

与三角形两边相切同时与三角形外接圆内切的三个圆称为三角形的伪内切圆。三个伪内切圆的根心为内心和切聚点的中点。

你可能会问：这个和切聚点本身有啥关系啊？别急，下面有请切聚点出场。做出三个圆两两的公切线，连接公切线的交点和对应顶点，奇迹发生了——它们共点于切聚点。

再是伪外接圆。伪外接圆的定义：过三角形的两个顶点且和内切圆内切的圆。这次更加简单粗暴：三个伪外接圆的根心正是切聚点。

我们把伪内切圆中的“与三角形外接圆内切”改为“外切”，就得到了伪旁切圆。这次，我们再作出三个圆两两的公切线，把公切线的交点和对应顶点连接，你猜它们共点于什么？答对了，还是切聚点：

而且，过外心和内心的直线上本来就逆天地有很多与伪圆相关的点：

切聚点(X(57))，上面描述了

伪内切圆和外接圆切点与对应顶点连线，三线共点于X(56)，为Nagel点的等角共轭，也是内切圆和外接圆的外位似中心

伪旁切圆和外接圆切点与对应顶点连线，三线共点于X(55)，为Gergonne点的等角共轭，也是内切圆和外接圆的内位似中心

三个伪内切圆根心，编号X(999)，为内心和切聚点连线中点

三个伪内切圆外公切线交点与对应伪内切圆圆心连线，三线共点于X(9819)

三个伪旁切圆外公切线交点与对应伪旁切圆圆心连线，三线共点于X(7991)

以及，三个伪旁切圆根心，编号X(6244)，为X(999)关于外心的对称点

也就是说，切聚点和12线共点和8点共线有关……

啊对了，切聚点还在重心和Gergonne的连线上……

附链接：ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS

Schifller点（X(21)）

△ABC的内心为I，则△ABI，△BCI，△ACI，△ABC四个三角形的欧拉线四线共点，这个点被称为Schiffler点（或X(21)）。

Morley定理

任意三角形的三个角的六条角三等分线中，相邻两条的交点组成一个等边三角形。