放风筝时风筝线是弯曲的，这条曲线长什么样呢？ 第1页

题主，你听我一句话，现实世界水很深，解析解他把握不住，得让数值解来。

其实这个问题是有实际应用的，属于非常典型的“航空拖曳”问题。如图：

在很多场景中都需要知道这根线的形状，而且不止形状，线在空间中的摆动规律、幅值都需要分析清楚，这里面要分析流场影响、线的材质、拖曳物体气动特性、线管内是否有液体流动等因素。所以本问中只在二维平面内运动的风筝线只能算入门难度。本文将利用MATLAB的multibody模块对风筝线的形状和运动进行模拟，模型文件在文末提供。

这类问题的常规解决办法是将线看做n段直杆的连接，每段直杆质量分布均匀且看做刚体。直杆之间使用铰接，铰接有扭簧性质，即受弯会产生恢复力矩。每根直杆除了受到两端的拉力和力矩外，还受过重心的重力和气动力。与地面和风筝连接的铰不存在扭簧弹力和摩擦力。一般来说这根线分成越多份直线段，模拟结果越准，这里我们将其分为10段，开始建立模型：

线段模型

将风筝线看做多根匀质刚性连杆的组合体，如图：

线段间使用铰（红框）相连，考虑到风筝线或是其他绳索不能无阻力弯曲折叠，所以定义此铰接具备扭簧弹力和旋转阻尼，使其具备变形恢复趋势和耗散能量的能力，具体参数值可在配置文件中定义。

通过测量每条线段与世界坐标系的角度，计算每条线段与风的夹角，从而计算出每条线段所受风的阻力，并使阻力作用在线段上（绿框）。这里认为线段阻力系数恒定，使用迎风面积计算阻力，即线段与风垂直时阻力最大，与风平行时没有阻力，认为线段不产生升力。空气密度、风速、风向由配置文件定义。

将以上线段模型进行封装，可得单条线段的模型，之后想用多少条线段就可以直接复制粘贴并连接在一起：

风筝模型

定义一个简陋的风筝。风筝为正方形，边长、重量由配置文件定义：

定义风筝具有3个连接点，其中1个连接点用于与线段连接，1个连接点用作升力和阻力作用点，1个连接点用于备份，因为肯定有人想在后面连上更多线和风筝，形成蜈蚣风筝:

风筝与线的连接情况如上图，这里两者的连接点不在风筝面上是因为：众所周知，风筝是多条线汇合到一个点与放风筝的线连接的，连接点并不在风筝上。

风筝阻力计算与线段类似。风筝升力计算使用了一个非常简陋的假设：假设风筝升力始终向上。做这个假设的原因是防止出现无控制状态下风筝不能放飞的情况。风筝力矩计算是根据风筝的迎角计算得出。最终把风筝封装起来，与线段相连，整个模拟系统就搭建完毕：

模拟结果

当然还可以模拟以下情况：

结束语

本模拟程序只是搭建了一个简单的框架，其中对升力变化和气动阻尼考虑得不够充分，所以有些时候风筝和风筝线的运动会有些奇怪，但是对于风筝线稳态的形状应该能有较好的模拟效果。模型文件放到了公众号“飞行课”中，感兴趣的朋友可以公众号内回复“风筝线”获取。

风荷载作用下风筝线的形状

按：浏览了一下本题下的回答，发现多数都在讨论悬链线，无论是用平衡法 （@奶牛小雪球）还是用变分法 （@杜帅） 都已经说的比较到位了。我做了一下核算，发现风比较大时，风荷载可以远大于自重荷载，所以觉得还是有必要对风荷载作用下风筝线的形状进行讨论。讨论过程中发现，题主的提问还是经过仔细考虑的，比如风速剖面，实际情况确如题主所言，是按指数规律变化的。

1、风筝线上的荷载

2、风筝线的平衡方程

3、风筝线的形状积分

得益于 @高崎汀步 建设性的提示，式（31）可以继续引入变换进一步积分。如下。

4、风筝线形状积分 plus

5、结语

在风荷载和重力荷载共同作用下，风筝线的形状函数由Riccati方程 [式(42)] 控制；根据该Riccati方程的特点，可通过小参数摄动获得其特解的展开式，进而积分得出通解 [式(45)]。

估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度 ，三角形边长 ，则：

这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：

记魔鬼速度 ，则捉住天使的时间：

这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。

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按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：

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  plel 网友的相关建议: 
      

这是我看到的最准确的总结。

总的来说，就是中国的高考相对公平，所以性价比极高，所以其他活动都可以适当让步。

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