如何证明 1²+2²+…+n² 为平方数的解只有 n＝1 或 n＝24？ 第1页

我来写一遍完整的初等证明吧，算是帮xtq填一下情形8的坑. 如果你想了解完整的证明，又懒得看英文文章，那么可以来看看这篇回答.

在这篇回答中，为了方便读者把握整体的证明思路，保证阅读的连贯性，我会适当省略一些较为简单或细枝末节的过程. 如果在阅读中遇到任何问题，恳请在评论区中提出.

先说一下本题的整体思路：按 的奇偶性讨论. 当 是偶数时，运用勾股方程、无穷递降等一系列的理论，这种情况是较为简单的；当 是奇数时，运用Pell方程、二次剩余等一系列的理论，这种情况是较为困难的. 以下是完整过程：

原问题等价于求 的正整数解, 下面按 的奇偶性进行讨论.

情形一， 为偶数时，原问题即为求 的正整数解. 简单分析知 只能形如 , 其中 . 可设 , 则 . 利用勾股方程的结论，可设 , 并分两种情况讨论：

（1） , 相减可得 . 再利用 并简单分析可知 为完全平方数，因此 是完全平方数。方程就化为了 . 由熟知结论，无解.（注：该结论将于该回答的最后证明）

（2） , 相减可得 . 再由 为完全平方数可知 或 . 于是原方程化为了 和 . 由此可以推出 , 得到了第一个解.（注：该步较为简单，读者可尝试自己证明，详细过程将在回答的最后给出）

情形二， 为奇数时，原问题即为求 的正整数解. 简单分析知， 只能形如 , 其中 . 则有 . 下证：Pell方程 在 可表示为 的形式时，只有一组解 .

记 , 且设 , 则 是上述Pell方程的第 组解. 若 , 考查数列 模 的余数可知 . 因此，当 时， 一定可以表示为 , 其中 且 是奇数. 则由Pell方程解的递推性质可知： . 再结合Pell的递推性质, , , 进而 . 因此， .

下面引入Jacobi符号. 为了方便书写，记 . 结合由递推公式给出的 模 和 的余数， , . 因此 , 矛盾！

因此 , 我们便得到了第二个解.

综上，原方程的解只有 或 .

下面来证明情形一中用到的几个不定方程：

（1） . 对该式进行恒等变形，得到 , 因此无解.

（2） . 不妨设 , 则： . 因此 或 . 分别相减，得到两种情况：

（i） , 因此无解.

（ii） , 因此无解.

（3） . 该情况和（2）几乎完全相同，因此不再赘述. 该情况下最终可得到方程的第一组解.