学随机分析需要把实分析和泛函学的很深吗? 第1页

实分析其实最好过一遍测度论，甚至你看了严加安的测度论就没有必要看实分析了，测度是现代分析和概率的基础，必须学深了，严加安那本书除了拓扑空间上的radon测度外，其他都过一遍就差不多够了。(radon测度主要是后面dirichlet型理论需要在一般拓扑空间上构造右过程和hunt过程)另外，测度论里面的条件期望什么的必须滚瓜烂熟了，鞅的定义就是基于这个。然后还有一点，l–s测度最好也要比较清楚(严加安那本书也会讲，实际上就是R上的radon测度，这个可以结合实分析来看，因为l–s测度跟有界变差函数，增函数有着密切的关系)，随机分析里面要求被积函数平方关于右连续过程对应的l–s测度的积分有限，这一点会涉及到。它是R上概率测度和勒贝格测度的推广。所以测度论是非常基础重要的。如果实在懒，过一遍北师大的测度与概率也差不多了，该讲的里面也都会讲。

然后泛函分析其实把张恭庆泛函分析上册过一遍其实够了(如果实在懒，就学完第一部分，至少知道度量空间，banach空间和hilbert空间吧)，不学这些直接学随机分析的话，有点像不学测度论直接学概率论，有种便秘的感觉。学了泛函分析你更好理解ito积分本质上是L^2空间到L^2空间的保范线性映射，你知道保范自然就记住ito积分平方的期望是多少了。而且布朗运动的构造其实跟泛函分析里面的弱收敛很像，它用的是概率论里面的弱收敛，构造了wiener测度，很多随机微分方程理论(如鞅问题)需要用到这个特殊的构造。

其实随机分析最好过一遍shreve的布朗运动和随机计算那本书，那个虽然有点难，但你如果用oksendal的话学完只会计算，但很快就忘了这个体系，以及很多东西那本书是讲不清楚的，比如一个过程关于布朗运动的ito积分它可能不是L^2鞅，而是局部鞅，但oksendal只定义了鞅和关于布朗运动的积分，它里面的ito过程其实是半鞅，就像明明一个三维的东西，用一维来解释，当然说不清楚了。

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