为何从一元五次方程开始就没有由有限次加、减、乘、除、开方运算构成的求根公式了？ 第1页

大多数感到困惑的人，首先主要是因为没有把问题描述清楚。

首先，直观一点解释，简单的高次方程，比如 x的5次方=2，这种，是明显有根式解的，除了实数根2的开五次方, 还有四个复数根都能用加减乘除和开方表示出来。

而稍微复杂一点的方程，比如 这种，就很难说了。

因为你用加减乘除，以及开有限次方等这些操作能凑出的数虽然有无限多个，但是他们始终是含在某一类数范围内，而这一类数的范围是不是就能包含这个方程的根，这就很难说了。

之所以二次，三次，四次方程可根式解，就是因为上面说的用加减乘除，以及开有限次方等这些操作能凑出的数刚好涵盖了二次，三次，四次方程在复数域内的所有根。

问题是随着方程次数的增加以及表达式的复杂性，根的表达式也明显变得复杂:

这个从二次方程的根的表达式，到三次，四次方程的根的表达式就能很明显看出来次数对根的表达式的复杂性的影响，很明显二次的根你能记住，但是到了三次，四次就很难记住了。

另外从这种简单的方程到 这种表达式更复杂更一般一点的方程，复杂性就增加了很多，因为前者有根式解，后者却没有。

那么如何来将上述说的根的表达式的复杂性通过数学本质来定量化或者定性化呢？

阿贝尔，伽罗华等天才数学家的创新工作就彻底解决了根的表达式是否可通过加减乘除以及开方表示出来，这一有关根的表达式的复杂性的定性研究。

其结论是一般性的一元多项式方程能否根式解等价于这个多项式对应的对称群 是否为可解群，而n=1,2,3,4时这个群是可解群，n大于等于5时这个群不是可解群。

以上就是最直观的解释之一。

下面来讲讲精确的解释。

0. 有根式解的精确含义

首先我们要把话说清楚，就是要把我们的问题表达清楚。

这里面有两个层次的含义，有些微差别。

我们说一个具体的多项式方程，比如 能不能解的意思是指

它在复数域内的所有根都可通过上述系数域内的开有限次方以及加减乘除这五种运算的有限次运算表示出来。

比如 的解就是 , 那么我们就说这个方程


能解或者更准确一点叫有根式解。

上述就是一个具体的多项式方程有根式解的含义。

另一个更广泛地，是指形如 这样的一般性方程有根式解的含义，

它是指方程 在复数域内的所有根能通过以系数参数为未定元的有理函数域(这里就是 )内的元素开有限次方以及加减乘除这五种运算的有限次运算表示出来。

比如 就是满足要求的根式解。

因此我们说方程 有根式解，或者有一般根式解。

这里之所以加上「一般」两个字作修饰，正是为了区分某个具体的方程。

某一类的方程有一般根式解，当然就能推出这一类的任何一个具体的方程都有根式解。

因为你只要代进去就好。

但是反过来，一个具体的方程有根式解当然不能推出某一类方程有一般根式解。

因为本系列的前两篇专栏文章：

我们已经知道了二次，三次，四次多项式方程都有一般根式解。

因此任何一个具体的二次，三次，四次多项式方程都有根式解。

对于五次方程就不同了，方程 就有根式解，即它在复数域内的所有根都可通过有理数的开有限次方以及加减乘除这五种运算的有限次运算表示出来。

这个道理很简单，首先它有一个实根是 ，然后用多项式除法，即可将问题归结为一个具体的四次方程的根式解。

但是，并不是随便一个具体的五次方程都有根式解。

比如 , 这个就没有根式解。

下次再遇到民科怼你，说他自己多么牛发明了一个多神奇的能解高次方程的方法，然后跟你说伽罗华理论是多么的荒谬时，

你就不要多说，让他去解 这个方程就好了。

实际上这个方程的任何一个根都不能通过有理数的有限次开方和加减乘除的有限次运算得到。

从函数图像可以看出，它只有一个负的实根，其余四个是虚根。

这个看似很简单的方程，要完整解答需要用到很高深的数学，这里不再展开。

所以，首先你得把问题描述清楚！

很多人对这个问题的描述是有误解的，各种各样的误解都有。

不能一一列举，只讲一两个，

比如没有根式解是不是就没有公式可以表达根啦？

这当然是错的，因为除了上述带根号的公式表达，还可以有其它的千千万的形式呢！

比如 这个方程没有根式解，但是它有椭圆函数公式的根表达。

这么高深的内容，民科打死都看不懂，因此民科打死都解不出这个方程。

接下来, 我尝试用高中生能理解的方式，来大致的完成「五次及以上方程无一般根式解」的证明或者解释。

但是一次应该是看不完的，多看几次应该可以。

首先我们需要群和域这两个方面的知识，不要慌，我这里不采用抽象的公理化定义。

群就是一些映射构成的集合，域我们这里主要就是指我们的数域，如有理数集，实数集等。

1. 群的初步介绍

1.1 群的直观概念

群(group)是有一个代数结构的集合。

我们常常用记号(G, )来表示，这里的G就是代表集合，乘号 代表代数结构.

通常我们用乘号 表示，有时也会用加号表示，即(G, +).

这里的乘号所代表的实际上是一个二元运算，跟我们在实数集上的乘法是一样的。

即乘号 表示 到G的映射。

接下来，我们说说群的定义。

集合G上的二元运算 满足几条公理(结合律，单位元存在性，逆元存在性)，我们就称集合G关于运算 成为一个群，记为(G, )或者直接记为G.

那么这几条公理条件长什么样呢？

如果我沿着这条路讲的话，那就成了数学系大三的抽象代数课了。

这不是我想要的，我想要以高中生能理解的初等方式来展开。

将一个本质深刻，内容丰富的数学知识在不失本义的前提下以一个取巧的初等方式展现出来，

首先这是一件非常困难的事情，

其次即使假设演讲之人水平足够，要实现它也是需要看运气的。

这个运气就是要看这样的高深内容是否存在初等的表现形式。

有些有，有些没有，所以要看运气。

对于学习群的一些基本知识而言，大家的运气就很不错。

这源于群论的一个基本事实：

任何有限群都同构(等价)于对称群的一个子群。

这句话中有几个专业术语解释一下。

有限群就是群作为集合是有限集的意思，

同构呢暂时可以理解为等价，相同的意思，稍后我将详细解释，很简单。

接下来，我们讲讲对称群和子群什么意思。

1.2 对称群symmetric group

记集合 , 这是个数为n的一个有限集。

记集合 ，

即[n]的所有排列的全体，因此有n!个，即集合 的个数为n！

看，对称群作为集合就是一大堆排列而已，这没什么不好理解的吧？

接下来说它的乘法结构。

[n]上两个一一对应 相乘怎么定义呢？

很简单，就是两者作为映射的复合，即

很明显，两个[n]上一一对应复合后依然是[n]上的一一对应。

下文我们将[n]上的一一对应毫无分歧地说成排列，置换，变换。

喜欢称为排列或者置换的人强调的是对称群作为集合，其中的元素长成什么样子；

而喜欢叫一一对应或者变换的人强调的是对称群的乘法运算，即作为映射的复合。

举个例子，假设

则 .

我们算一个值，比如

这就完全解释清楚了对称群 .

当n固定时，这就是一个具体的有限群，当n变化一直到无穷大，我们就得到一系列有限群。

而且之前提到的事实：任何有限群都同构(等价)于对称群的一个子群，的意思就是指，

即使这样一系列具体的群，它们却包罗万象，涵盖了所有有限群作为其子群。

这里体现了特殊与一般的辩证关系。

通常我们总认为一般情况总比特殊情况包含的内容更多更广，而这里告诉你在有限群的结构这方面，一般不会比特殊更多，对称群这个特殊就代表了一般。

是不是很有意思？

这其实在整体与部分的辩证关系的时候就有所体悟，把整体看成一般，部分就像特殊。

在之前的文章中，我曾经证明过自然数，整数以及有理数集这三个集合的个数是一样多，都是可数。

而前一个显然是后一个的部分，这里告诉你整体跟部分一样多。

详见专栏文章：

回到正题，现在讲对称群的子群。

一个对称群的子群，它首先至少应该是一个子集，其次这个子集关于对称群的映射复合这个乘法运算应该能成为一个群。

将以上两点翻译成具体的精确表达就是：

对称群 的子集H被称为其子群，如果该子集H

关于乘法 依然封闭( )

且逆映射也封闭( )。

举个例子，比如
H是由两个元素组成的四阶对称群的子集。
其中(1)是恒等变换，它乘上任何一个[n]上的变换都不会改变该变换，即跟实数中的「1」在实数乘法中的作用是一样的。
由于 再加上恒等变换的性质，
很容易得到上述H是四阶对称群 的子群。
另外，并不是每个子集都是子群，显然 这个单子集就不是子群。

现在来阶段总结一下：

我们已经非常清楚的知道了对称群 的确切含义，以及其子群的确切含义(即子集加乘法封闭，逆封闭)。

再加上任何有限群都同构于对称群的一个子群。

我们可以说我们已经对所有有限群有了初步认识。

这里的重点是我们不用介绍群的抽象的公理化定义，而对称群是直观和具体的。

它就是一大堆置换(或者说变换，排列，一一对应)构成的集合，而乘法就是变换的复合而已。

基于这个事实，对称群的子群又被称为置换群。

对称群本身就是特殊的置换群。

因此有限群其实就是置换群而已。

这些都是非常具体的，可以精确计算的，而且计算也不难理解，只是n比较大的时候会有点繁琐。

到目前为止，全部都是初等内容，高中生肯定能理解，只是对数学符号的含义适应快慢而已。

所以，大家看到了，群其实也没什么，就是一些变换构成的集合而已。

说到群，很难不让人联想到魔方。

其实，由上述对称群的知识，我们知道了群就是一大堆变换构成的集合。

这句话不只是对于置换群成立，在广义上它总是对的。

把三阶魔方的一种状态转到另一种状态所需的操作看成一个变换，这些变换的全体就构成了一个群，魔方群。

将魔方的出厂原始状态看成起点，那么一个状态就对应一个变换。

因为状态有很多，所以这个群的元素个数很大很大，超出你的想象。

另一方面，所有这些变换，都是由6个最基本的变换复合(乘法)产生。

魔方，大家玩得最多的一个问题就是打乱后如何还原到原始状态。

这个问题，目前有了很多经典的解答，它属于计算群论的范畴。

实际上，面对魔方，在你学习了群论之后你会问很多有意思的问题。

比如，从任意一个打乱的状态转到原始状态最少需要多少步？
这个问题明显深刻得多。
再比如，想象力发散一些，可以转出哪些有对称艺术性的状态来？
将一连串变换看成一个整体，这个整体本身看成一步，是否能一直重复这一步就将魔方还原呢？至少需要重复多少次呢？等等

1.3 置换群的一些记号

为了让读者可以自己尝试去证明一些结论，我们引入置换群中置换的表示记号。

以下这个记号对我们认识置换群是至关重要的，如有神助。

我们用(123)表示循环置换即将123映成231，即1变成2，2变成3，3变成1.

一般地，用 表示循环置换将a1变成a2，a2变成a3，...

当然，没有出现在括号里面的数字就是表示该置换将该数字映成自己，即保持不变。

比如

有了如上记号后，很容易计算置换群的乘法。

比如 于是我们得到：

乘法记号通常省略不写，就跟我们平时实数的乘法类似。

有一点要注意区别：群的乘法通常不满足交换律。

比如

因此
即乘法不满足交换律

1.4 几何对称性

群的历史起源，就是伽罗华galois和阿贝尔abel在考虑多项式方程的根之间的对称性时形成最初的变换雏形的。

考虑根的对称性，其实就是考虑正多边形的变换群。

因为 在复数域中的根，在复平面上画出来正好就是正n边形的n个顶点。

将正多边形标上号，你就能很容易得到将正多边形保持不变的几何变换构成的集合了。

这些保持正多边形不变的几何变换的全体刚好构成一个群，而且元素为2n个。

拿正六边形来说，就是12个，如图中所示。

这里分为两类，一类是旋转有n个，一类是翻折也是n个，即轴对称翻转。

对应到上述图中，旋转就是虚线终点在顶点上的那n个，而翻折就是虚线终点在边中点的那n个。

这些群有个记号 (Dihedral group), 于是有置换群的上述知识，我们有

其中(12)(36)(45)就是翻折，而(123456)就是旋转。

实际上D6中的12个元素都可以由(12)(36)(45)和(123456)这两个元素相乘得到。

而且对于一般的n, 也有类似的结论。

1.5 群同构

同构实际上是一个非常广泛和普遍的概念。

其主旨是说两个事物在某种程度或者某种意义上可以看成一个事物。

其实同构的概念是天然和分类的思想相互关联的。

我们努力学习同构的概念，很大的原因就是为了分类。

最容易理解的例子就是我们初中学习的三角形的全等。

三角形的全等其实就是一种同构。

由于我们关心的是三角形的数学上(其实就是逻辑上的)量，即三个角和三条边，这六个要素。

而不关心你在黑板上画出来的三角形是红色还是白色，线条的粗细等。

这些问题在数学上不关心，不代表其它学科或者领域就不关心。

事实上，物理，艺术等对这些实现细节是非常关心的。

因此，在数学上一个很自然的想法，关于两个三角形是否一样(即同构或者全等)，就产生了。

如果两个三角形的上述六个要素(三个角度三条边长度)相对应的相等，则我们称这两个三角形全等(即同构，或者说相等的意思)。

显然六个要素都对应相等的话，两个三角形就能通过移动而重合了。

这也很符合我们的直观感受。

于是就有了好几个判定全等的定理，

比如SSS定理，它指出两个三角形的对应三条边长相等，则这两个三角形全等。

这是因为三条边对应相等能推出三个对应角度也相等。

可见，如何定义同构，是有我们的目的以及一些隐含的必然逻辑在的。

比如上述三角形全等的定义，是因为如此定义的两个全等的三角形在后续的数学研究中起到的作用是完全一样的。

不会说两个全等的三角形，它们的面积或者周长却不相等。

回到我们的正题，我们来定义两个群的同构。

就像三角形的全等定义一样，我们应该先搞清楚一个群有哪些要素。

很明显它有两个要素，首先一个群是一个集合，其次它上面有乘法运算结构。

我们只要让两个群的上述两个要素都对应相同就可。

两个集合，仅仅作为集合，我们只要他们的个数一样多即可。

即两个集合间存在双射(就是一一对应)。

于是我们有了两个群同构的严格定义如下：

我们称两个群 同构，如果存在从 的双射f(一一对应)使得：

即存在两者间的双射使得乘法运算得以保持。

1.6 简单的群性质

这部分可以暂时不看，等到用到时再回来仔细看看。

群的阶数

一个有限群，其作为集合的元素个数就称为该群的阶数。

比如，对称群 的阶数就是n!

交换群

一个群，如果其乘法是可交换的，则称为交换群.

也叫做Abel群，这个Abel就是我们的天才挪威数学家Abel。

虽然一般情况下一个群不一定是Abel群，但是也同样存在大量Abel群的例子。

比如

正规子群

如果群G的子群H，满足如下条件

则我们称H是G的一个正规子群。

我们用记号 表示H是G的子群，而用 表示正规子群。

可解群

可解群是概念有关五次以上多项式方程无根式解的证明过程中的一个至关重要的概念。

包括它的名字的由来，大家想想，「可解」的意思就是指的方程「可解」。

如果有限群G存在如下的一个子群序列：

其中前一个是后一个的正规子群，且后一个的阶数是前一个素数倍，

则我们称群G是可解群。

2. 域的简单介绍

2.1 域与扩域

域的定义本身也是抽象的。

我们不给出域的抽象的精确定义，但是我们可以粗略的描述一下。

域也是一个集合，然后上面有两种运算，我们通常称为加法和乘法。

每个单独的运算加上集合本身构成一个很不错的代数结构，

比如域与其加法构成一个交换群。

两个运算之间又有很好的兼容性，

比如分配率， .

我们最熟悉的域的例子其实一直都在我们身边，那就是有理数域，实数域，复数域，它们对应的记号是

因此我们讲域的时候，根本就不需要抽象的定义，就是数的通常的加法和乘法。

我们可以直接用如下的方式来定义数域。

数域的定义

我们称复数集的一个子集为数域，如果该子集对加减乘除封闭的话。

比如除了前面说有理数集，实数集，复数集等都是数域之外，我们来构造一个。
令 ，K是包含所有有理数的一个复数域的子集。
很容易验证K中的任何两个数的加减乘除还在K中，
因此K是一个数域。

通过上面的例子，可以看出在复数域中存在非常丰富的域。

有理函数域

除了上述数域，我们再来介绍一类有理函数域。

假设K是如上的一个数域，记 是系数为K中元素的n元多项式全体，

我们称 是K上的n元有理函数域。

有理函数中的「有理」二字就是模仿有理数的主旨，因为从整数到有理数的过程跟上述过程是一致的。

比如一元实系数有理函数域 我们随便找一个其中的元素，比如

在我们的五次以上多项式方程的根式解的问题，只涉及到如上的数域和有理函数域。

扩域

这个很好理解，它就是指两个域作为集合，大的包含小的，那么大的就称为小的扩域。

比如实数域就是有理数域的扩域。

我们通常用记号 ，表示K是F的扩域，或者说从F到K是一个域的扩张。

我们常常需要在已知的一个域中添加一些新的元素，然后看看能成为什么样的域。

假设K是一个域，我们用记号K(a), 表示包含K和a的最小的域。

比如通过域保持加减乘数的定义，很容易得到

实际上，上述有理函数域的记号和定义就是我们这里的扩域的想法。

2.2 分裂域(根域)

一个系数域为 的多项式P(x)的分裂域或者根域(这个名字更形象一点)是系数域的一个满足如下性质的最小扩域 ：使得多项式P(x)可被分解成一次因式的乘积，而所有一次因式的根在扩域 中。

比如取有理系数域 ，令多项式 .
则有理系数的p(x)的分裂域就是有理数域本身，因为该多项式的两个根都是有理数。
若令 ，则情况就发生变化了.
此时有理系数的q(x)的分裂域就是 , 而不再是有理数域 了。

由此可见一个系数域关于某个多项式的分裂域就是将根加进去的最小扩域。

2.3 域同构

这个概念很简单，类似于群同构，我们定义域同构如下：

我们称域K与域F同构，如果存在从K到F的双射f(一一对应)使得

3. 进入主题-阿贝尔-鲁菲尼定理

回到本文最关心的话题，就是五次及以上多项式方程无一般根式解。

我们将问题重新严格的组织一下：

以x为未知数的方程 在复数域内的根不能通过有理函数域 内的元素通过有限次开方和加减乘除这五种运算的有限次运算表示出来。

我们先从简单的入手。

先来看看一个具体多项式有根式解在数学上的本质是什么。

我们需要在扩域的基础上引进几个简单的概念。

3.1 根式扩张

如果域K是域F的一个扩域，且 则称K是F的单根式扩张，或者单根式扩域。

比如 就是有理数域的单根式扩域。

如果存在扩域系列：

使得后一个是前一个的单根式扩张，则我们称扩域K是F的根式扩张(域)。

通过前面我们对一个具体多项式有根式解的理解，我们很容易得到如下命题。

命题1

一个多项式P有根式解等价于通过有限次添加方根，将系数域K扩张为某个包含该多项式分裂域的扩域，

即该多项式的分裂域包含于系数域K的某个根式扩域中。

证明

这个比较简单。

如果该多项式的分裂域包含于系数域K的某个根式扩域中，则该多项式的每个根都在数域K的某个根式扩域中。

这由根式扩域的含义，正是指该多项式有根式解，因为每个根都用开有限次方和加减乘除组合运算表示出来了。

反过来，如果每个根都能用开有限次方和加减乘除组合运算表示出来，

那么每个根都含在数域K的某个根式扩域中。

而多项式的根是有限个，因此所有根都可含在同一个大的根式扩域中。

由分裂域是包含所有根的最小扩域知，分裂域包含于这个大的根式扩域中。QED.

这里算是第一次真正的将一个多项式是否有根式解的问题转化为比较专业的表达，即转化为该多项式的分裂域的问题。

由命题1，我们真正搞懂了一个多项式是否有根式解，其本质在于它的分裂域长成什么样子。

接下来，我们进入核心部分，高能警告！

3.2 伽罗华群

记系数域为F, 多项式f在数域F上的分裂域K是F的一个扩域。

不妨记多项式 我们将从分裂域K到自己的所有保持系数域元素不变的域同构全体记为Gal(K/F)。

这个就是闻名遐迩的伽罗华群，它首先当然是一个集合，其元素是一个K到K的同构，这种叫做自同构。

由于是保持系数域元素不变，因此通常我们称为分裂域K的F-自同构，即

接下来，我们说Gal(K/F)实际上是 的子群。

K中的元素实际上都是F中的元素和多项式f(x)的根通过加减乘除得到的，

如今Gal(K/F)中的自同构在系数域F上的作用就是恒等映射而已，我们来看看

它在多项式f的根上是什么作用。

假设多项式f在分裂域K中的所有根为 ，

因为可能有重根，所以一般而言m可能比n小。

假设 , 我们得到

由此我们得到 也是多项式f的根，即 ，

上述等式中的 的意思就是域同构的定义，因为域同构是可以同加法，乘法交换运算的，而多项式作为函数就是加加乘乘。

如此，我们得到了Gal(K/F)中的每个元素(自同构), 其核心就是多项式的根集的一个排列而已，即它是一个置换。

基于以上理由，我们将Gal(K/F)看成是 的子群, 由于m小于等于n, 当然也是 的子群。

定理1

有理数域Q上多项式 的分裂域K的伽罗华群Gal(K/Q)与乘法群 同构。

其中群 是什么呢？

它就是我们初中学习初等数论时的模运算，作为集合其中的元素就是被n整除后的余数

1，2，...，n-1，这n-1个中挑可逆的元素。

其乘法就是通常的乘法加一个细节，那就是超过n的，要不断减去n

比如

由上述例子知道， 不是可逆的，所以不在群中。

很明显，这是一个交换群。

这个定理证明比较容易，但是涉及到一些我们这里没讲的概念，因此这里不证。

3.3 伽罗华定理

接下来的内容，就是我们的核心。

域F上的一个多项式f(x)可根式解的充要条件是该多项式的分裂域K在系数域F上的伽罗华群是可解群。

这个定理的证明相当复杂，也是最初伽罗华Galois理论的最重要的一个应用，这也是可解群名字的来源。

要完全证明这个定理就必须把伽罗华理论从头到尾讲一遍，这几乎就是数学系大三抽象代数这门课程的全部内容。

实际上，很多不是那么认真的老师，在讲完一学期抽象代数后都没办法讲到这里。

这也就是很多院校或者老师讲数学课程的一个通病，花了很大力气来铺路，铺了一学期甚至一年，

等到最后终于似乎要看到这门课在讲什么的时候，

课程却突然结束了，理由是课时有限，哈哈哈！

因此，我们这里的处理办法就是承认这个定理是对的，接着往下走！

回到我们最早的例子。

方程 有根式解，而 无根式解。

我们回到定理1，由于群 是交换群，而每个交换群都是可解群，

因此所有形如 的多项式方程都有根式解。

而多项式 在有理数域上的分裂域K的伽罗华群是对称群 , 而这并不是可解群，

这就是该多项式无根式解的本质原因。

接下来，我们来证明我们最关心的事情！

数域F上的一般n次多项式

其中我们把字母 看成是一般的未定元，因此实际上多项式f(x)的系数是

多项式 中的元素。

定理2

上述多项式f(x)在系数域 上的分裂域K的伽罗华群

同构于对称群 .

解释

这个定理的严格证明涉及到一些代数几何的基础知识，因此这里也不太好讲。

但是我们可以领悟一下其主旨和精神。

假设该多项式在分裂域中的根为 , 于是得到分裂域K:

而K的 其实就是对应的置换 这些根。

所以就刚好有分裂域K的伽罗华群同构于对称群 。

这里难的地方，是说你随便指定一个 这些根之间的置换都能以此为

基础，成功产生分裂域K的自同构。

这里的「成功」二字的意思是指，不至于发生矛盾，这就要求

我先来举个例子，说明会发生矛盾的情况。

比如假设系数域就是有理数域 , 取

然后 我们指定

我们希望它能产生K上的自同构，但是

这就产生矛盾了。

这里产生矛盾的根本原因在于， 在有理数域上是代数相关的，即

且这个多项式关于u1,u2不是对称的。

代数相关

若 在数域F上，存在零化他们的多项式，则称他们在数域F上是代数相关的。

否则就是代数无关的。

回到我们的主题，我们来看n=2的情况。

多项式 系数域是有理函数域 ,

多项式的根是 .

分裂域为 , 显然u1,u2在系数域 上是代数相关的。

实际上零化他们的多项式正是根与系数关系(对n次方程亦是如此):

但是，好就好在零化u1,u2这些的多项式关于u1,u2是对称的。

对于一般地n>2的情况，本质原因也在于此。

即，由于根与系数的系列公式关于这些根都是对称的。

到此，定理2我们算是解释完了。QED.

引理1

当n>4, 对称群 不是可解群，而 都是可解群。

解释

对于n>4的情况，证明不难但涉及一些我们这里没讲过的群的性质和定理，这里就只能承认。

无论如何这都只是群论里面的基本事实，跟域等其它的内容是独立的。

但是对于n=2,3,4的情况，可以简单证明一下。

回顾可解群的定义：

如果有限群G存在如下的一个子群序列：

其中前一个是后一个的正规子群，且后一个的阶数是前一个素数倍，

n=2, 有

而对称群S2的解释为2，是素数。

n=3, 有

而对应的素数是 。

n=4, 有

其中

其阶数为12,

其阶数为4,

因此上述对应的素数是 . QED.

于是，我们终于到了我们的目标：

3.4 阿贝尔-鲁菲尼定理

五次及以上一元多项式方程无一般根式解。

证明

首先，问题归结为首系数为1.

其次将问题严格描述为：

以x为未知数的方程 在复数域内的根不能通过有理函数域 内的元素通过有限次开方和加减乘除这五种运算的有限次运算表示出来。

将问题等价于：

该多项式f(x)的分裂域不包含于系数域 内的的某个根式扩域中。

而由于多项式f(x)在系数域 上的分裂域K的伽罗华群同构于对称群 ,

以及n大于等于5时，对称群 不是可解群，

由伽罗华定理得

4. 编后语

综上所述，对于一般性多项式方程，我们已经证明了二次，三次，四次都是有根式解，而五次及以上是没有根式解的。

对于具体的一个多项式方程是否有根式解，本质上就是要计算该多项式的分裂域的伽罗华群(这个计算更多是证明，很不容易的)，然后再用群论知识判断其是否为可解群。

是可解群对应的就是多项式方程可根式解，不是可解群对应的方程就不可根式解。

可解群的名字取得多好！

这就是数学之美，单看名字就蕴含了丰富的逻辑与美的内涵！

至于没有根式解的多项式方程，如何去寻找其它形式的公式解，就是更高深的数学了！

需要进一步学习！

多谢关注和点赞，支持原创高质量文章！

在回答问题之前，我想先来解释一下这个问题到底是什么意思。如题目所说，系数为有理数的五次（及以上）方程没有加减乘除和开方的求根公式。

不要理解为『有理数系数五次方程没有公式解』。我们有办法使用一些超越函数来构造出五次方程的公式解。这里说的是，只用『加减乘除』和『开方（即使用根号）』给不出五次方程的求根公式。

也不要理解为『对于每一个有理数系数的五次方程，都无法只用加减乘除和开方来表示出它的根』。对于某些五次方程，我们完全可以找到根式解，比如 的解（之一）是 . 这里说的是，我们没法给出一个只使用加减乘除和开方的通用公式，使其可以给出任何一个有理数系数的五次方程的解——就像大家熟知的二次方程求根公式那样。

所以，理论上说，我们其实只需要找到一个没有根式解的有理数系数的五次方程，就可以说明五次方程没有只使用加减乘除和开方的求根公式了。这样的例子当然是有的，比如 就没有根式解。（当然，要说明其为什么没有根式解并不是一件简单的事情。）

其实，这个现象没有看上去那么神奇。这只是说明，『加减乘除』和『开方』的运算组合有其局限性罢了。如果我们不允许开方，只允许用加减乘除，那么我们只能给出一次方程的求根公式，对于二次方程我们便束手无策了——这就是『加减乘除』的局限性。通过引入『开方』运算，我们可以给出四次方程的一般解，这已经是一大进步啦=w= 所以，如果说『开方』运算如加减乘除一样，也有其局限性，这并不是一件那么让人意外的事情。

然而，这还是有一点点神奇的。神奇之处在于，为什么恰好是五次呢？为什么不是四次或者六次？嗯，这便是这篇回答想要讨论的问题。

大致思路是这样的：为了找到方程的解（在本文的语境下是多项式的根），我们需要进行域扩张，因为方程的解往往不在有理数域中。同时，多项式的根具有某种对称性。我们可以通过群的概念来描述对称性，而多项式的根的对称性可以转化为域扩张的对称性，后者可以被『伽罗瓦群』来描述。『加减乘除』这四种运算无法进行域扩张，而通过『开方』进行的域扩张（根式扩张）具有某种特殊的对称性——其对应的伽罗瓦群是『可解的』。而通常情况下，五次方程的解（即五次多项式的根）对应的域扩张的伽罗瓦群是『不可解的』，所以仅用『加减乘除』和『开方』不可能让我们从有理数域扩张到包含五次方程解的域。

好吧，我估计不少人都会觉得上面一段话『每个字都能看懂』……我会试图在回答里慢慢解释上述这些概念。如之前一样，这篇回答为了可读性，会牺牲一些严谨性。

一般说来，要想真正弄清楚这个问题，需要学习两个学期的抽象代数，而且对于大多数人来说，抽象代数也不是一上来毫无基础就可以学的。所以，想通过一篇简短（跟教材比起来）的回答来把这个问题彻底解释清楚，是根本不可能的事情。

这篇回答最多只能让没学过相关数学知识的读者大致了解要解决这个问题『大概是怎样做的』或『从什么角度入手』，所以不要对本文抱有太高的期望。（如果只靠阅读知乎回答就可以学数学，那我们还要大学干什么呢？）对于将要学习或正在学习相关数学知识的读者，我不敢保证这篇回答会对你们在『直观理解』上有帮助。但如果有一点点帮助的话，我会很开心的=w=

以下是一些阅读建议：

1. 不要试图一次性读完全文（尤其对于没有学过相关知识的同学来说）。我把全文分了若干节，每次读一到两节就可以了，不要求快，尤其是在读数学时。

2. 我在每一节的开头写出了『读完这一节之后你应该知道哪些概念』。再阅读下一节之前，先确保自己对这些概念有一定的认识。

3. 本文以介绍『对称与群的关系』开始，这一部分非常重要。囫囵吞枣可能会导致之后的阅读寸步难行。

4. 在读本文之前，最好先读：

群论研究结构，「结构」一词是什么意思？跟数学有什么关系？ - 匡世珉的回答 - 知乎

如何给高中生解释群论？ - 匡世珉的回答 - 知乎

为什么尺规不能三等分一个任意角？ - 匡世珉的回答 - 知乎

以上三篇回答有助于更好地理解本文。为了控制篇幅，以上三篇回答中详细介绍过的概念，本文可能就不会花过多笔墨了。

5. 再强调一遍，这篇回答最多只能让没学过相关数学知识的读者大致了解要解决这个问题『大概是怎样做的』或『从什么角度入手』，所以不要对本文抱有太高的期望。在本文最后我会列出一些教材与资料，对于想真正弄清楚这个问题的同学们来说，那些才是你们应该认真看、认真读的东西。

这篇回答献给教了我一学年抽象代数的Robert D. Friedman教授。

大二上学期的最后一次抽代考试，我在答题纸的最后写下了：

Thank you for your great lectures. They have made mathematics as beautiful as it should be.

好的，正文要开始了=w=

===============第一节===============

【对称、对称操作、对称操作的四条性质】

首先我们来看两个图形：

左边的是圆，右边的是正方形，他们都是『对称图形』，没错吧？

请听题：这两个图形哪一个『更对称』呢？

为了回答这个问题，我们必须要知道到底什么是『对称』。当我们用『对称』来形容一个图形的时候，我们其实是在说这个图形在某些操作下保持不变——这样的操作我们称之为『对称操作』。

对于正方形来说，『（顺或逆时针）旋转90度』就是一个对称操作，而『旋转45度』则不是。我们可以这么理解：如果你在我闭上眼睛的时候悄悄地把正方形（绕中点）旋转90度，我是不会发现你做了这个操作的。但如果你把正方形转了45度，我肯定就会发现了。

那么正方形的对称操作有哪些呢？一个可能的答案是『所有角度为90的倍数的旋转（包括旋转0度）』。然而，由于旋转360度等于没有转，所以其对称操作其实只有『（顺时针）旋转0度、90度、180度、270度』这四种。

如果允许翻折的话，我们还可以得到另外四种对称操作，即『水平、竖直、沿对角线翻折』。

那么圆的对称操作有哪些呢？

我们发现，任何角度的旋转都是对称操作。如果允许翻折的话，沿任何一条过圆心的直线翻折也都是对称操作。

所以，圆具有无穷多种对称操作，而正方形只有有限多种对称操作（四或八种，取决于是否允许翻折）。如果以对称操作的数量为标准的话，我们可以说『圆比正方形更对称』。

现在我们来仔细研究一下『对称操作』。

正如之前所说的那样，我没有办法确定你是否在我闭上眼睛期间做了某种『对称操作』。我们可以说，对称操作就是那些可以通过『闭眼测试』的操作。（啊，这个词是我自己造的，只是为了方便叙述与理解=w=）

注意，这样意味着我们只关心『操作开始前的状态』和『操作结束后的状态』，至于中间到底做了什么我们并不关心。比如，一次『先逆时针旋转45度再顺时针旋转135度』的操作与一次『顺时针旋转90度』的操作并无区别，都是同一种对称操作。

那么对称操作（可以通过『闭眼测试』的操作）具有哪些性质呢？

第一，如果我们把两个对称操作连起来做，看成一个『复合操作』，那么这个新得到的『复合操作』也是一个对称操作。

不妨这么想：如果操作A和B都能分别通过『闭眼测试』，那么『先做A再做B』也应该能通过『闭眼测试』。

举个例子，『先顺时针旋转90度，再顺时针旋转180度』也是一个对称操作，等价于『顺时针旋转270度』。

两个对称操作的复合可以让我们得到新的对称操作，就像两个整数相加可以得到新的整数一样，所以我们可以把对称操作的『复合』看成是一种运算。（这让我想到Friedman教授在第一节抽代课上说的：Basically, you combine two things and get a third. That’s algebra.）

第二，对称操作的复合运算满足『结合律』。

这几乎是一句废话。如果A、B、C是三个对称操作，那么结合律就可以描述为『先「做A然后做B」再做C』与『先做A再「做B然后做C」』的效果一样——这显然效果一样，因为两次都是把A、B、C按顺序做，完全没有区别。

注意，这是结合律，不是交换律，对称操作的顺序没有改变。（复合运算不一定满足交换律，考虑正方形『顺时针旋转90度』与『竖直翻折』这两个操作。）

如果觉得结合律过于显然，那么可以暂时不去管它。（强调结合律其实是为了把对称操作进行抽象，而既然我们现在就在讨论对称操作，所以结合律就是自带属性。）

第三，『什么都不做』也是一个对称操作。

额，我知道这个看起来有点奇怪，『什么都不做』为什么也算是一个操作呢？不过『什么都不做』也可以通过『闭眼测试』呀：我没办法知道我闭上眼睛之后你是做了『什么都不做』还是什么都没做……

好吧，如果觉得这不能说服你，那么让我们来想一想之前的第一条性质：对称操作的复合还是对称操作。我们把『顺时针旋转90度』与『顺时针旋转270度』复合起来，得到的就是『什么都不做』。为了让第一个性质成立，就让我们把『什么都不做』也当成对称操作吧！

好吧，这简直是个假对称操作。

为了显得稍微正经一些，我们把『什么都不做』的操作称为『恒等操作』。

第四，每一个对称操作的『逆操作』也是对称操作。

这不难理解：如果一个操作可以通过闭眼测试，那么把它反过来做，也可以通过闭眼测试。比如『顺时针旋转90度』是对称操作，那么『逆时针旋转90度』即『顺时针旋转270度』也是对称操作。

等等，逆操作就是『反过来做』的操作？那什么叫『反过来做』？

好吧，如果觉得这个说法随意了一些，那我这么说：把一个对称操作与其『逆操作』复合起来（无论先做哪一个），得到的新对称操作都是『恒等操作』。

好的，关于『对称操作』的性质，我们知道这四个就足够了。现在我们可以说：『群』就是某个图形（或对象）的所有对称操作的集合。

===============第二节===============

【群、群与对称的关系、群的例子（很重要，后文会用到）、群同构】

是的，就是这么简单。给定一个图形（或对象），其所有对称操作构成的集合就是一个群。注意到集合自然地带有一个『复合』运算。（反过来说，对于任何一个群，它都是由某个图形（或对象）的所有对称操作构成的。）

还是用例子来说明吧：假设桌上有五个完全一样的纸杯排成一行，把每个纸杯看成一个点（如下图），那么把这五个纸杯看成一个整体，其对应的群是什么？

给个提示：想想看之前所说的『闭眼测试』。既然纸杯完全一样，那么在闭眼时交换任意两个纸杯，我都发现不了。

没错，所以这五个纸杯的每一种『重新排列』（即『置换』）都是一种对称操作。注意，对称操作是『置换』的动作，而不是置换之后的状态。

于是，对称操作的数量就是五个纸杯不同排列的数量，也就是120种。这五个纸杯所对应的群就由『五个对象的全部置换方式』构成，记作 ，是一个120阶的群（阶即元素的个数）。

请听题：如果把五个纸杯改为四个纸杯呢（如下图）？对应的群是什么？

好吧，这题过于简单了。对应的群由『四个对象的全部置换方式』构成，记作 ，是一个24阶的群。

下一题有点难度：如果纸杯A和B完全一样，纸杯C和D完全一样，而纸杯A和C不一样（如下图），这回对应的群是什么？

回忆一下『闭眼测试』，我们发现，『交换A和C』是不行的，因为这两个纸杯不一样，交换了就会被发现。我们只能交换A和B，或者交换C和D，所以对应的群是什么？

答案是：一个由『恒等操作』、『交换A和B』、『交换C和D』、『同时交换A和B、C和D』这四个对称操作构成的四阶群，记作，或者称为『克莱因四元群』。

稍微想一下我们会发现，如果把四个点分成黑色与红色两部分，那么每一部分分别对应一个的群（与之前的记号一致），所以我们可以把群看成是由两个群『组合』在一起得到的——我们说是两个的『直积』，记作 ——不过这暂时不重要。

提醒一下，别忘了群还带有『复合』运算。比如在这个例子中，先做『交换A和B』再做『同时交换A和B、C和D』，就得到了『交换C和D』。

讲了这么半天，这些东西跟五次方程到底有什么关系啊？

别急，再举一个例子我们就讲方程（多项式）。

一个长方形，在允许翻折的情况下，对应的群是什么？

答案是：一个由『恒等操作』、『水平翻折』、『竖直翻折』、『旋转180度』这四个对称操作构成的四阶群。复合运算关系如下图：

重点来了：这个群跟之前所说的群具有同样的结构！

什么意思？

如果我们把群中的元素『恒等操作』、『交换A和B』、『交换C和D』、『同时交换A和B、C和D』分别换成『恒等操作』、『水平翻折』、『竖直翻折』、『旋转180度』，就会发现它们的复合运算完全一致。

前一个例子中，我们说过，先做『交换A和B』再做『同时交换A和B、C和D』，就得到了『交换C和D』。按照上述规则，这个句子被我们换成：

先做『水平翻折』再做『旋转180度』，就得到了『竖直翻折』。

实际上确是如此！

再打个比方，如果我现在造出一个机器，机器上有四个按钮，分别贴着『恒等操作』、『交换A和B』、『交换C和D』、『同时交换A和B、C和D』这四个标签。依次按下任意两个按钮，其复合运算对应的按钮就会亮起。所以这相当于是一个『群复合运算计算器』。

此时，如果我把这四个标签换成『恒等操作』、『水平翻折』、『竖直翻折』、『旋转180度』，而丝毫不改动机器本身的电路，我们会发现这个机器依然可以正确计算这四个操作的复合运算！

所以，我们说这两个群是『同构』的，只是元素的名字不同罢了。如果用函数来表示『换标签』，即标签被换成了，并用来表示复合运算，那么同构满足什么样的条件呢？

如果我们用来表示与复合的结果，那么我们就有，而『换标签』对运算完全不影响，所以就有，而通常我们会把星号省略，写成；同时，这里『换标签』是一一对应的，所以我们也要求是一一对应的，即不能有两个不同的按钮换成了同样的标签。于是，如果一个一一对应的函数满足的等式，我们就说是一个（群）同构。而这个等式的意义就是『函数保持运算结构』。

（在这里提一下：按照一般的严格定义，『群』是带有一个运算的集合，并满足封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元这四个条件，这正是我们之前总结的『对称操作』的性质。事实上，从范畴的角度来看，群可以定义为由一个元素构成的范畴，其态射为群同构，这正是我在本文中所说的定义。Leinster 的Basic Category Theory 的例子1.1.8(c)对此有精彩的描述。）

===============第三节===============

【多项式的根的对称性】

好的，我们来谈方程与多项式吧！

由于多项式的根就是使其等于零的的值，也就是方程的解，所以在下文中我将不加区分地使用『方程的解』和『多项式的根』这两个表述。

我在开头说过，方程的解具有某种对称性。这到底是什么意思呢？举个例子，我们来看多项式，因式分解为，它的四个根为： .

我们写出随便写几个包含这四个根的多项式形式的（以下省略）等式，比如, , .

现在，把这些数字都当成标签，交换的标签，我们发现等式依然成立：比如之前的变成了，而这个等式是对的。

换句话说，如果我告诉你我用和来表示，写出一堆包含和的等式，你永远不可能知道到底和哪个是哪个是，因为无论是哪种情况，等式都成立。所以我们说，和在代数上是无法区分的，因为它们满足的等式完全一样——它们的标签可以随意交换。

还记得什么叫『对称』吗？对称就是在某些操作下保持不变。而在这里，交换的标签，所有的等式都没有发生变化，这就是多项式的根的对称性。

同样地，交换的标签，或者同时交换和的标签，等式仍然保持不变。

于是，这个多项式的根所对应的群是什么呢？

答案是：一个由『恒等操作』、『交换的标签』、『交换的标签』、『同时交换、的标签』这四个对称操作构成的四阶群。

也许你已经意识到了，这个群同构与，所以多项式对应的群正是『克莱因四元群』。

这真的是很神奇的一件事情。如果不借助群来研究对称性，我们很难想到这个多项式竟然会跟长方形有内在的联系！

为了更方便地研究多项式的根的对称性，我们需要引进一个新的概念：域。

===============第四节===============

【域、域扩张、域的对称性、自同构群】

所谓『域』，就是一个对加、减、乘、除都封闭的集合。换句话说，对于域中的数字，无论你怎么用加减乘除（当然，零不能做除数）去蹂躏它们，它们依然还是在这个域里。

比如，全体有理数构成有理数域，因为任意两个有理数做加减乘除之后结果还是有理数。而全体整数则不能构成域，因为两个整数相除不一定得到整数。

如果只能使用加、减、乘、除，那么我们无法给出（有理数系数，以下省略）二次方程的求根公式。为什么呢？从『域』的角度看，我们就可以给出答案了：因为二次方程的解却可能不在有理数域里（比如），而无论在有理数域中怎么做加减乘除，我们仍然只能得到有理数。

这样看来，『域』就如同如来佛的手掌心——如果加减乘除是你全部的招数，那你永远无法离开这个『域』。

而这个时候，『开方』就是一个格外强大的技能：它能让我们离开原来的域，进行『域扩张』。

比如，在有理数域里对开二次方根，我们就得到了，而不是有理数——不在有理数域中。这时，我们再借助加减乘除，就可以得到一个同时包含有理数和的新的域，记作，而的解正是在这个新的域里。所以，通过『开方』的操作，我们就可以得到的解。

所以，要想给出一个五次方程的解，我们希望能通过『开方』不断地扩张我们的域，直到我们的域中包含该方程的解。然而伽罗瓦告诉我们，这往往是做不到的。

还记得之前我们说的多项式的根的对称性吗？我们之前考察了的四个根的对称性——其对应的群正是『克莱因四元群』。这个多项式还是复杂了些，因为它可以被拆成两个次数更低的多项式的乘积——我们称其为『可约』多项式。

我们现在来单独考察它的一个因子——它作为有理数系数多项式是『不可约』的，因为它没有办法再被拆成两个次数更低的多项式的乘积，除非引进。

如前文所说，的根是，均不在有理数域中。同时，这两根具有对称性：我们可以随意交换两根，它们满足的等式不会改变。

重点来了：如果我们把这两个根放在它们所在的域中考虑，那么根的对称性就转化为域的对称性——我们可以同时交换一切与，而域中所有的等式都不会改变！

举个例子：我们知道，现在我们交换一切与，得到，而这个等式依然是成立的！

也许这有些难以置信，但事实就是如此。你可以自己尝试更多的例子=w=

套用之前的比方，如果我现在造出一个机器，它有无穷多个按钮，对应了域的每一个数。它可以正确地计算域中的加减乘除（如之前一样，以亮灯的形式）。如果我同时交换一切与的按钮标签，这个机器依然能够正确的计算加减乘除！

所以，如之前一样，这个『交换标签』的操作是域的『同构』。不仅如此，它还是一个『自同构』，因为它没有牵涉到任何『新的标签』，仅仅是把原有的标签换了位置！

其实，我们在中学数学里早已接触过域的自同构了。

不知大家是否还记得，我们在解二次方程时，复数解一定是成对出现的——如果其中的一个解是复数，那么另一个解也是复数，并且这两个解一定共轭。

比如，的解是和，它们是共轭的。

这是为什么呢？因为全体复数构成复数域，其中的每个元素都可以写成的形式，而『同时交换一切与』是复数域的自同构。

我们把思路理一下。如果我们已经知道『同时交换一切与』是复数域的自同构，那么对于任何一个等式，比如，我们可以放心地交换和，得到；前者意味着是的解，后者意味着是的解。

所以，二次多项式的复根一定是成对出现的。（实际上，我们完全不用局限于二次——任何次数的多项式的复根都是成对出现的，理由正是『交换共轭对』是复数域的自同构。）

接下来的一句话很重要！

『自同构』就是一个域的『对称操作』。

（其实我之前讲了这么多，就是为了说出这句话。不妨停下来想一想，确定自己理解这句话之后再继续往下读。）

所以，一个域的所有自同构构成了一个群——我们称之为『自同构群』。

那么域的自同构群是什么呢？

『同时交换一切与』是一个对称操作（自同构），并且『恒等操作』也是一个对称操作（自同构），除此之外没有更多的对称操作（自同构）了。所以，其对称群就是——还记得这个符号吗？回想一下排列纸杯的例子吧。

（其实这就相当于是在置换，因为它们的变动完全决定了域中每一个数的变动。）

为了避免大家迷失在众多的数学概念中，我们来简短地回顾一下：

我们的目的是寻找五次方程的根式解。由于五次方程的解往往不在有理数域中，所以我们只能寄希望于通过『开方』不断地扩张数域，直到数域包含五次方程的解。同时，方程的解具有对称性，并可以转化为所在的域的对称性，可以用『自同构群』来描述。

如果我们能说明『五次方程的解所在的域』具有的对称性与『可以通过开方扩张的数域』具有不同的对称性，那么就意味着『五次方程的解所在的域』不是『可以通过开方扩张的数域』，也就意味着五次方程没有求根公式。

所以，为了说明这一点，我们不仅需要研究『域』的对称性，还需要研究『域扩张』的对称性。域的对称性可以用『自同构群』来描述，而域扩张的对称性则可以用『伽罗瓦群』来描述。

有了之前这么多的铺垫，『伽罗瓦群』就不难理解了——它只是『自同构群』的『子群』罢了。

===============第五节===============

【子群、域扩张的对称性、伽罗瓦群】

『子群』的概念与『子集』类似，很简单。H是G的子群就意味着G包含了H中的所有对称操作。也就是说，H是G的『一部分』——当然，H也得是一个群。

举个例子，回到最开始的正方形。如果不允许翻折，那么正方形具有四种对称操作，它们构成的群记作；如果允许翻折，那么正方形据有八种对称操作，它们构成的群记作. 显然，每一个里的对称操作都在里，所以是的子群，记作 .

现在我们考虑从有理数域到域的域扩张。

我们已经知道域的对称操作是『恒等操作』和『同时交换一切与』，它们构成了的自同构群，同构于群。

我们现在规定，这个域扩张的对称操作是：的自同构群中保持不变的对称操作。

域扩张的对称操作构成的群被称为『伽罗瓦群』。按照这个定义，『伽罗瓦群』自然是『自同构群』的子群。

更一般地来说，如果我们把域F扩张成域E，那么这个域扩张的对称操作就是E的自同构群中保持F不变的对称操作，它们构成了这个扩张的『伽罗瓦群』，记作.

本例中，伽罗瓦群记作 .

那么这个伽罗瓦群到底包含了什么对称操作呢？

首先，『恒等操作』保持了不变，自然就保持了不变——因为是的扩域，是的一部分。

接着我们发现，『同时交换一切与』也保持了不变——这个操作只影响到那些带有的数，对有理数完全没有影响。

所以，在这个例子里，『伽罗瓦群』不仅是『自同构群』的子群，而且它们完全一样！所以.

（为什么我们要这么定义域扩张的对称操作呢？因为在这个例子中，要想完成有理数域到域的域扩张，我们既可以在中加入，也可以在中加入，两者效果一样。）

那有什么『伽罗瓦群』不是『自同构群』的例子吗？有的。

还记得我们之前讨论的多项式吗？它的四个根为和，所以为了得到这个多项式的根，我们需要把有理数域中加入和 ，得到扩域——为什么总共四个根，我们只加入了两个？别忘了域对加减乘除都封闭，如果域里已经有了，那么它乘上的结果（）也在域里，也是如此。

当然，这个扩张可以分两步进行：先把扩张成，再把扩张成.

我们现在考虑后一个扩张，即把扩张成.

为了知道这个扩张的伽罗瓦群是什么，我们需要先知道的自同构群，然后再看其中哪些对称操作保持了不变。

在分析多项式的时候我们就说过， 可以被任意交换，也可以被任意交换。所以在域中，我们可以同时交换一切与，也可以同时交换一切与，也可以把它们都交换。

所以域的自同构群也同构于克莱因四元群，包含『恒等操作』、『同时交换一切与』、『同时交换一切与』和『同时交换一切与以及一切与』。

那么这四个对称操作中哪些保持了域不变呢？那就是没有牵涉到的操作，即『恒等操作』和『同时交换一切与』，它们构成了这个扩张的伽罗瓦群，同构于群。

其实这很好理解：在域中我们有两组数可以交换，而为了保持不变，那么只剩一组数可以交换，所以就相当于是『两个纸杯』的情况，对应的群是群。

所以，尽管的自同构群包含四个对称操作，但这个扩张的伽罗瓦群里只包含两个对称操作，它们是严格的子群关系。

===============第六节===============

【伽罗瓦对应（群与域的联系）】

为了对伽罗瓦群有更加形象的认识，我们可以画一个这样的图：

我们用一个圆来表示有理数域，而域扩张之后，圆的半径就变大了。那么域扩张的对称操作就可以看成是『保持小圆不变，只转动大圆内小圆外的一层』——就像转动圆形门把手一样。

比如，从E到K的域扩张的对称操作就可以看成是『保持E不变（所以F也不变），转动图中K的最外面一层』。

再比如，从F到K的域扩张的对称操作就可以看成是『保持F不变，转动图中K的外面两层』。

这样一来，我们可以很自然地看出是的子群——在K的对称操作中，保持E不变的操作肯定也保持了F不变，因为F在E里面。

一个小问题：从K到K的域扩张对应的伽罗瓦群是什么？再往下看之前不妨先自己想一想=w=

换句话说，这是一个假扩张，域并没有变大。于是我们就要问自己：K的对称操作中保持K不变的有哪些？

那就只有『恒等操作』啦——那个假对称操作。

所以，这个假扩张对应的伽罗瓦群只包含这个假对称操作，是一个一阶群。为了跟之前的记号统一起来，我们把这个一阶群记作. 注意，与之前的理由一样，自然是和的子群。

为了接下来方便叙述，在这里提一句：如果E是F的扩域，那么我们就说F是E的『子域』。

好的，现在我们可以来看一看伽罗瓦理论的核心思想了。看下图：

左边一列是域，右边一列是群，它们有一一对应关系。箭头的起点是子群或子域，指向更大的群或域。

这个对应关系我们称之为『伽罗瓦对应』。到底是怎样对应的呢？

对于一个域来说，它对应了『使它保持不变的对称操作』构成的群。

对于一个群来说，它对应了『在群中对称操作下保持不变的』的域。

而且上述这两个『转换』是互逆的：一个域对应的群对应的域就是这个域本身；一个群对应的域对应的群也是这个群本身。

箭头相反（即包含关系相反）的原因也很好理解：群越大，包含的对称操作就越多，那么能够保持不变的域就越小；域越大，要让其保持不变就越『难』，那么满足要求的对称操作的集合就越小。

其实这个图我并没有画完整，因为我们还有一种扩张方法：先把扩张成，再把扩张成. 如果我们把这个域记作D，我们就可以把图补全：

伽罗瓦理论的核心思想就是伽罗瓦对应——把域与群联系起来，让我们得以在域与群这两种语言中自由切换。伽罗瓦理论的力量无比强大，能帮我们解决很多问题，包括五次方程求根公式的存在性问题——但是先不谈这些『用处』，这个对应本身已经足够美丽。

由于作为例子，所以这个图还是比较简单的。放上一张稍微复杂一些的图：

在继续往下看之前，先对着这张图发一会儿呆吧=w=

===============第七节===============

【对称性缺失的原因与应对措施、伽罗瓦扩张（正规扩张、可分扩张）、根式扩张对应的群的性质——满足交换律】

接下来我有一个坏消息和一个好消息。

先说坏消息：并不是所有时候伽罗瓦对应的性质都这么好。有时候域和群不是一一对应的，或者说，『从域到群』和『从群到域』这两个转换不是互逆的。

比如有的时候，域扩张的对称操作只有『恒等操作』，哪怕这并不是一个假扩张。也就是说，有时域扩张并不具有我们所期待的对称性。

套用圆形门把手的比方来说就是，这个门把手拧不动——外面一层无法旋转。

在解释坏消息之前，我先把好消息也说了吧：

门把手拧不动的时候，我们总可以加一点润滑油让它能够正常旋转——啊，我是说，当域扩张的『缺少』我们期待的对称性时，我们总可以在域里加一些东西，让它获得本应具有的对称性。

我先给一个缺少对称性的例子：如果我们在中加入，那么我们就得到了一个同时包含和的域，记作.

与之前一样，为了知道这个域扩张的伽罗瓦群，我们需要先找到的自同构（即对称操作）。

别忘了，域的对称操作会保持所有的等式不变。我们现在写一个等式：.

如果我们保持不变（事实上，自同构一定会保持不变），那么对称操作只可能把换成其他的数。为了让这个等式依然成立，换上的数必须得是方程 的解。由于这是自同构，所以换上的数必须在中。

（换句话说，对于同一个多项式，自同构的效果是根的置换——就像之前换纸杯一样，如果一个纸杯被移走了，原有位置必须得换上某一个纸杯，而移走的纸杯必须被移到某个纸杯之前所在的位置。）

问题来了，所有中的数都是实数，而的实数解只有，另外两个解都是复数，不在中。

也就是说，无处可去，只能留在原地！由于里每一个数可以被有理数与表示出来，所以『有理数和动不了』意味着里所有的数都动不了！于是，的自同构群以及这个域扩张的伽罗瓦群都只包含『恒等操作』，并没有什么『真正』的对称操作。

也就是说，门把手转不动：

出现这种情况怎么办呢？答案也很显然：把另外两个根也加进这个域里！

实际上，在这个域里加入另外两个根就等于加入了，所以我们就得到了这个域。于是，考虑从到的域扩张，我们又有了之前的一一对应：

像这样拥有性质非常好的伽罗瓦对应的域扩张我们称之为『伽罗瓦扩张』。

（伽罗瓦扩张是既正规又可分的域扩张。正规扩张保证了多项式的每个根都被加进了域中，于是我们就有足够多的自同构把每个根送到它所有可能去到的位置；可分扩张保证了（不可约）多项式没有重根，就不会出现『两个根在同一个位置』而使得根可以去到的位置减少的情况。）

（域的特征为零时——有理数域就是这种情况——域扩张一定是可分的，所以伽罗瓦扩张等价于正规扩张。）

上述例子非常具有代表性：从到是一个根式扩张（我们对中的 开了三次方根），如果根式扩张不是伽罗瓦扩张，那么我们总可以加入单位根使其变成伽罗瓦扩张。在上述例子中，就是一个单位根。

有了单位根的帮忙，『根式扩张得到的域』与『群』之间就有非常好的一一对应关系。于是我们可以放心地用后者来研究前者的对称性了！

接下来我不加证明地给出一个结论：

『通过开n次方根进行的域扩张』和『通过加入单位根进行的域扩张』所对应的群都满足交换律——别忘了，一般的群只满足结合律，所以这两种群相当特殊。

（实际上它们都是有限循环群。这个结论其实很容易证明，但需要使用抽象代数的工具，故在此略去。）

于是，如果五次方程有求根公式，那么其方程的解所在的某个域（记作K）一定可以通过有理数域的『根式扩张』得到，那么我们一定可以把从到K的域扩张分为若干（有限）步，使得每一步扩张的伽罗瓦群都是满足交换律的。

如果K满足上述要求，那么我们就把从到K的域扩张对应的伽罗瓦群称为『可解群』。

套用圆形门把手的比方来说就是，我们可以把只有一层的门把手分成若干（有限）层，每一层都可以转动，并且对应的伽罗瓦群都是满足交换律的。如下图：

所以，为了解决五次方程的问题，我们还需要知道最后一件事：如何把门把手分层——如何把域扩张（在不破坏伽罗瓦对应的情况下）分为若干步。

这，是最能体现伽罗瓦非同寻常的洞察力的地方。

===============第八节===============

【如何把域扩张分为若干步、正规子群、商群】

为了方便说明，我仍然使用门把手的图，但采用最开始的『换标签』的比方。

我们要想把域扩张分为若干步，只能『顺其自然』。什么意思呢？就是说，在哪里分割不是我们决定的，我们只是把原本就存在的分割线画出来。如下图所示：

只有原本就是分开的，我们才能把它分开。要不然即使画了分割线，标签还是会跑出来的。如下图所示：

那问题来了，我们如何知道原本是不是分开的呢？

换句话说，我们如何知道，对于每一种换标签的操作，虚线圆内的标签没有跑出来，外面的标签也没有跑进去呢？

我们来思考一个更加生活化的问题：

节日到了，每位同学都准备一个礼物，学校规定了A、B、C、D四种『全校范围内交换礼物』的方式。我们不知道也不关心这四种方式具体是什么，但我们想知道甲班的礼物是否会被这四种方式换到其他班级的同学手中。在可以对全校同学发号施令的情况下，我们可以怎么做呢？

方法如下：

我们先让全校同学按照A方式交换礼物，接着让『除甲班以外的所有同学』按照某种他们任意选择的方式交换礼物，然后再让全校同学把A方式反过来做。

如果甲班同学的礼物没有被A方式换到班级外的话，那么这样做下来，甲班同学应该拿到的是自己原先准备的礼物——因为第二步对甲班没有影响。

如果A方式把甲班中的小明同学的礼物换到了班级外，那么小明的礼物将会在第二步中再次被转手，所以第三步把A反过来做以后，小明拿到的一定不是自己的礼物。

（请仔细思考上面三段话，确认自己明白再继续往下读。）

按照这种方法，我们可以依次判断这四种方式是否会把甲班的礼物换到其他班级。问题解决！

回到之前『换标签』的比方，如下图：

图中虚线围成的圆也代表一个域，记为O.

为了判断虚分割线是否原本就存在，我们先对外边两层同时做『换标签』的操作（这个操作在从F到K的域扩张的伽罗瓦群里），接着对最外层做『换标签』的操作（这个操作在从O到K的域扩张的伽罗瓦群里，是的子群），然后再把第一步反过来做（这个操作也在里，因为群内每个操作都有逆操作）。

如果这三个操作的复合操作保持了圆O内的标签不变（也就意味着这个复合操作在里），那么就说明虚分割线是存在的，我们就可以按照这条分割线来分割域扩张！

注意，第一个操作和第二个操作和 里『任选』的操作——这意味着我们实际上要确保和里的每一个操作都能够通过上述检测！

如果确实如此，那么我们就说是的『正规子群』，记作 .

而按照虚分割线分开之后，我们就得到了一个新的伽罗瓦群，它是和的『商群』，记作.

所有准备工作都已完毕，现在是时候给出最后一击了！

===============第九节===============

【正规子群链、可解群】

回顾一下之前所说的：

如果五次方程有求根公式，那么其方程的解所在的某个域（记作K）一定可以通过有理数域的『根式扩张』得到，那么我们一定可以把从到K的域扩张分为若干（有限）步，使得每一步扩张的伽罗瓦群都是满足交换律的。

现在，我们可以把这段话改为：

如果五次方程有求根公式，那么我们一定可以找到一条『正规子群链』：

,

其中是一阶群，只包含『恒等操作』，而是从到K的域扩张所对应的伽罗瓦群；同时，每一个商群都满足交换律。

满足上述条件的就是『可解群』。

那么从到K的域扩张所对应的伽罗瓦群是什么呢？

根据代数基本定理，我们知道五次方程有五个根。一般说来，我们可以任意交换它们——还记得『五个纸杯』的例子吗——所以从 到K的域扩张所对应的伽罗瓦群是 .

而的正规子群除了一阶群和它本身以外，只有（这是中的所有偶置换构成的群，解释见下一段，跳过解释并不影响阅读），所以我们顶多得到这样一条正规子群链。

（每一个置换都可以拆成若干个『两两交换』的复合，其中能被拆成偶数个『两两交换』的复合的置换就被称为『偶置换』。奇置换同理。显然偶置换与偶置换的复合仍是偶置换——因为偶数与偶数的和仍然是偶数——恒等操作是偶置换，并且偶置换的逆置换也是偶置换，所以一个置换群中的所有偶置换构成群。表示中的所有偶置换构成的群。前者是后者的正规子群，因为对于任何一个置换来说，和的逆置换奇偶性一样，于是『先做，再做偶置换，最后做的逆置换』仍是一个偶置换。而的正规子群只有一阶群和它本身，所以被称为『单群』。不严谨地说，『单群』是一个与『可解群』相对的概念。有限可解单群只有素数阶循环群。）

是一阶群。正如『任何数除以一等于其本身』，任何群与一阶群的商群也等于其本身，所以 ，而不满足交换律。（就算不知道到底是什么，我们也应该知道『一般说来，群都不满足交换律』，所以这没什么可惊讶的。）

所以五次方程没有『加减乘除』和『开方』的求根公式。

Q. E. D.

===============关于伽罗瓦===============

不算构思的时间（更不谈学习这些知识的时间），这篇回答的累计写作时间大概是五十个小时。我知道，可能这篇回答写完后并不会有多少人看，看完之后很可能也收获甚微，但我还是想把自己的一些思考与理解写出来，万一对谁有一点点帮助呢？

愿意花这么多时间写这篇文章，也是出于我对伽罗瓦的尊敬、崇拜和感激。在我曾经无比痛苦和绝望的时候，伽罗瓦和他的理论给了我继续前行的动力。

伽罗瓦命途多舛：父亲被人害死、考巴黎理工大学两度失败、提交的论文两度石沉大海、被巴黎高师开除、两度入狱、自杀未遂，最终在二十岁时离开了人世，死于决斗——为了自己的心上人。

他在遗书中对革命党人与友人说：『我最终未能为自己的国家死去，希望爱国人士与我的朋友们不要为此责怪我……我将成为一桩风流韵事的受害者。啊！我为什么要死于这种琐碎而可怜的事呢……』

在决斗的前一晚，伽罗瓦匆匆写下了自己脑海中的数学思想，并且不断写着『我没有时间了』。

他把这些手稿夹在交给朋友Chevalier的信中，并在信的末尾嘱咐Chevalier：『请把我的手稿交给高斯和雅各比，听一听他们对这些理论的重要性（而非正确性）作何评价。我希望，未来的某一天，我这些杂乱的手稿会对世人有所帮助。』

后人为了纪念伽罗瓦，将他开创的数学理论以他的名字命名。如今，伽罗瓦理论早已成为现代数学不可分割的一部分。伽罗瓦短暂的一生，犹如漆黑夜空中一颗耀眼的流星，照亮了数学家们前进的道路，也为世界带来了一份无与伦比的美丽。

===============其他===============

扩展阅读及参考资料：

Ian Stewart. Galois Theory

Nathan Carter. Visual Group Theory

Edward Frenkel. Love and Math

Thomas Hungerford. Algebra

Tom Leinster. Basic Category Theory

Galois Talk: https://www.youtube.com/playlist?list=PLch_Jbr0Xa3PPwpq62EknkzPBkKW_Y4PB

Introduction to Galois Theory: https://www.youtube.com/playlist?list=PLoESu5yQTk1htS_Cyhy3sFWrmY22CfTrT

以及Friedman教授的抽代课笔记

最后，分享一个我个人非常喜欢的视频，是我在YouTube上无意中看到的，我将它转到了优酷上。这个视频以这个方程为例子，动态地展示了『伽罗瓦对应』。（还记得前文中的几张图吗？想知道它们『动起来』是什么样子吗=w=）

Visualize Galois Theory—在线播放—优酷网，视频高清在线观看 http://v.youku.com/v_show/id_XMTUwMzc0MzMzNg==.html?spm=a2hzp.8244740.userfeed.5!3~5~5~5!3~5~A

原视频地址：https://www.youtube.com/watch?v=F5RBYwCw7II

那么就这样=w=

五次以上方程的Galois群不再是可解群了。

如果要用初等数学证明，可以从Kronecker在1856年发现的一个定理入手：

一个次数为奇质数的有理系数多项式如果不能分解为多个有理系数多项式的乘积，且该多项式有代数根（根可以由有限次加减乘除开方表示），那么该方程要么全部根都是实数，要么只有一个实根。

这么一来为什么是五就很显然了。三次有理系数方程的根要么是三实，要么是一实两虚。而五次方程开始会有三实两虚这种情况。根据上述Kronecker定理不可能有代数解。

例如，作图可知 有三个实根，一个在-2和-1之间，一个在-1和0之间，一个在1和2之间，可以验证这个多项式不能拆分成两个有理系数多项式乘积，则可知这个方程的根不能代数表达。

下面进行证明，证明过程除了对群的基本定义（对加减乘除封闭的一个数集）以及复数知识外，不需要其它更高级的知识。

定义：一个数集内如果任何两数加减乘除结果还在该集合内，则称该集合为一个“群”（仅供本题证明，比广义的群概念狭窄）。最简单的群就是有理数集 。我们在本题中讨论的群都是 的超集。

对于群 ，可以定义拓展群 ，即所有 里的数和 加减乘除可以计算出的结果总和，换句话说，所有系数皆来自 的有理函数代入 的值的总和。

多项式 的系数全部在 群里称其为 多项式，如果它不能分解为两个次数较低的 多项式乘积则称其在 里不可分解。

例如 在有理数集里不可分解，但在群里可分解。

Abel引理

设群 ，数 ， 为奇质数，且不存在 使得 ，那么 在 内不可分解。

反证：

假设 其中 。

设 ，则以上多项式的 个根为 ，其中 为1的 次虚根。

比较多项式乘积的常数项可得 ，

因为 为质数， 互质，因此存在整数 使得 ，那么

而 ，和假设矛盾，得证

Abel不可分解定理

设群 和两个 多项式，如果 在 里不能分解且 和 有一个公共根，那么所有 的根都是的根且 ， 为 多项式。

证明：

非常简单，假设 和 的最大公因式为 ， 可以用辗转相除法得到，因此必然为 多项式，因为 和 有公共根， 次数至少为1，因为 不可分解，只能是 (无视常数倍数），那么 。

以上基础定理可以引出下面两个显然的推论

1 - 在群 里不可分解的多项式 如果和另一个 多项式 有公共根且 次数严格低于 ，那么 所有系数皆为0。

2 - 设为在群 里不可分解的多项式，在 里不可能存在另一个不同的不可分解多项式和 有公共根。

现在考虑群 里不可分解的多项式 ，设 为多项式的根，显然 ，现在扩展 到新的群 ，那么对于任何 ，可以表示为

，其中 是没有公因式的多项式。因为 ，可以反复把 里 次数大于 的项都换成次数不超过 的项，最后使得 的次数都不大于 。根据推论1可得 不存在公共根，因为 没有公因式，可以用辗转相除法找到 多项式 使得 ，代入 得到 ，于是 ，再次把次数大于 的项换掉，最后得到：

，于是得到：

3 - 假设 为群里不可分解的 次多项式 的根，那么任何 里的数都能表示为一个次数不超过 的 多项式代入 后的值，这种表示方法是唯一的。

唯一性很简单：可以由

得出 ， ，这是一个次数为 且和 有公共根的 多项式，根据推论1所有系数皆为0。

现在终于要开始动真格了，我们从一个群里不可分解的 次多项式 出发（ 为质数），希望能找到一个群里不可分解的 次多项式 ，代入 的根 拓展后， 在 里变得可以分解。

例如之前的例子就是 在 里不可分解，代入另一个不可分解多项式 的根 后，在 里变得可以分解。

假设

分别是 的 次多项式，系数为 里的数，即 里的多项式代入 的值。

先固定 为有理数，且将 视为自变量，那么可以构造函数

，很明显 中 的所有系数都是 里的数，因此 为 多项式且 。这么一来根据Abel不可分解定理， 所有的根 都是的根 。

因此 对于任意有理数 都成立，因此对任意实数 都成立，因此 （这个证明思路之后会多次用到，一般来说如果 在 里有因式 ，且 是 里不可分解多项式 的根，则 所有的根 代入后 都是 的因式）。

代入 所有的根 相乘得到

其中 关于对称，因此展开后每项系数都是关于的对称多项式，可以用 的系数表示，因此 为 多项式，同样 为 多项式。

很明显， 各自都和 有一些公共根，根据Abel不可分解原理，它们都是 的倍数，由于 不可分解，我们有 ， 。

考虑两侧的多项式次数，可得 。因为 ，可得 是 的倍数。于是得到第4个推论：

4 - 从群里不可分解的 次多项式 出发（ 为质数），如果代入群里不可分解的 次多项式 根 拓展后使得 在 里变得可以分解，那么 是 的倍数。

现在开始讨论什么样的多项式拥有代数解。

从 （奇质数）次有理系数多项式 开始，假设 在 里不可分解。

首先代入1的 次根 和其共轭 ，得到群 ，因为 为 次多项式 的根，根据4，代入后 在 里依然不可分解。

取 ，质数 ，使得不存在 ， ，取 ，根据Abel引理， 是 里不可分解多项式 的根，代入 拓展得到群

如果 在 里依然不可分解，取 ，质数 ，使得不存在 ， ，取 ，根据Abel引理， 是 里不可分解多项式 的根，代入 拓展得到群

……

重复以上步骤直到 可分解为止，则称 有代数解。

这里每一步假设开方都是质数次并不局限，如果 ，且 ，可以做两次拓展 。此外，每一步代入共轭只是为了之后计算方便，没有实质上的区别。

现在假设某一步后， （质数）次多项式 在 里不可分解，但在 内可分解，且 ， ， ， 为质数。分解式为：

为 内不可分解的多项式，系数为 多项式代入 的值。

根据推论4，质数 为质数 的倍数，因此 。

根据Abel引理， 在 内不可分解，其 个根依次为

因为 为 的因式，仿照4的证明，可以得出所有为 都是 的因式。

而且这些在 内不可分解（如果 ，根据4的证明过程，可以得到 ，但这显然和不可分解性矛盾）。

此外， 个多项式 各不相同。（如果 ，根据4的证明过程，可以用另一个根 代替 ，得到 ，这里 ，同理可得 ，即 ，右侧所有系数皆为 的对称多项式，因此必然可以用 的系数表示为 多项式，和 不是 多项式矛盾）。

因此 ， 所有系数皆为 根的对称多项式，因此为 多项式，因为 不可分解，只能是 。

这么一来， 被分解为 个一次多项式的乘积，假设 的根为 ，换句话说 ， 因此 ，根据推论3可以表达为次数不超过 的 多项式代入的值。

，这里所有 。

最后证明Kronecker定理。

因为 的次数为奇数，因此必然有至少一个实根，假设

为实数。现在有两种情况： 里的为实数或者复数。

情况I - 为实数

因为 ，可以把所有 的次方都折入系数里，可以假设 为实数。

因此

即 ，根据推论1，它和不可分解多项式 有公共根，因此所有系数都是0，因此所有 都是实数。

而 ，因此 。

所以 有一个实根，剩下的都是成对的复根。

情况II - 为复数

首先我们为了方便把也放入 里拓展为 ，显然实数 。

如果 在 中可分解，那么情况就回到I，现在假设其在 中不可分解，但在 中可分解。

即

这个方程里展开后所有系数都在 里，且 在 里依然不可分解，因此我们可以用任意根 取代 。

因为 ，代入可得

即 。

所以 所有的根皆为实根。

得证，奇质数次数的不可分解多项式如果要有代数解，那么它要么所有根都是实根，要么只有一个实根。