这两道积分题有什么好的解决办法吗？ 第1页
1
la-la-la-4-25-46 网友的相关建议:
这种积分好像叫 Coxeter's integral。
注意到：
转化成二重积分，需令 ，
二重积分 可以变成：
再令 , ，则继续化简可得：
利用了：
于是拆开：
前者可以简单求出，
我们现在要求这个积分：
我们修改一下方便操作：
其中 ，我们再令
这好像叫Ahmed's integral。
对于 ，即求 .
我们不难求得 的原函数是 ，故 .
解出：
积分一次~
对后者倒代换：
神奇的事情出现了！
解得：
ysw-13 网友的相关建议:
老题啦(゜ロ゜)
首先来计算三个式子
是显然的
现在我们便可以来求解第一个积分
( ps.
评论区有小伙伴问道上面倒数第二个等号怎么来的
在此补充一下
)
第二个积分也可以按照上诉方法来求解
当然我们也可以用含参积分法来求解
这个根号很令人讨厌 ,
所以我们先进行换元
置
则
于是
于是
原积分化为
置
对上式积分并注意到 即可得出结果.
仿照上诉思路，我们可将第二个积分化为
置
不难得出
我们要求
注意到第一个积分等于
第二个积分中置 便可推出
这类积分知乎上好像有人总结过了,可以看看他的文章
1
相关话题
既然勒贝格积分是黎曼积分的改进，那为什么还要学黎曼积分？淘汰黎曼积分，直接学勒贝格积分不好吗？如何计算如下的定积分？
有没有对隐函数求导公式的几何理解？
如何计算这个积分？
数学中，f'(x) 和 (f(x))' 到底有什么区别？
如何证明空集不是任意集合的子集？
二重积分中值定理怎么证明？
如何不求导求 cos³x+sin³x 的最大值？
如何用级数证明三角函数的和差角公式？
这两道的极限怎么求?
前一个讨论
知乎上有哪些有趣的戏服党？
下一个讨论
为什么实对称矩阵一定可以正交对角化？
相关的话题
能分享一道如果“注意不到”就出不来的数学题吗？有哪些看起来很简单但做起来很难的数学题？
用泰勒公式怎么证明?
如何证明一个数学命题的不可证性？
有什么参考书对大一学习高数有帮助的吗 求推荐 谢谢？
这个数列的极限怎么求？
如何求该积分？
学高数究竟有什么用，比如求极限，求不定积分，在生活中根本用不上？
如图，这道高数题怎么做?
这个级数应该怎么计算呢?求解答?
如何判断这个反常积分的判敛性？
数学有什么意义？数学中的一切都是人类自己编造的吗？
f'(x)=f(f(x))这类迭代常微分方程是否有相应的方法求它们的性质？
这个级数为什么等于ln4？
有哪些神奇的级数求和？
这个冲激函数的积分怎么做？
在开区间上无界的连续函数一定不一致连续吗？
面积大于零的有界闭凸集的边界一定是简单闭曲线吗？
三角函数到底是怎么发展来的？
这两道题请问怎么做呢?
这几个有关贝塞尔函数的拉普拉斯变换是怎么推导的？
请教如何计算这个反常积分？
这个积分不等式题如何证明？
两幂级数柯西乘积收敛半径大于等于较小者 怎么证明呢？
有哪些神奇的级数求和？
反正切函数arctanx平方后的无穷级数怎么证明?
请问这个人的数学水平如何？
数学系的你，喜欢数学还是讨厌数学，还是毫无感觉？
微分记号 dx 是否不够恰当？
在极限和导数证明中引入无穷小α的意义是什么？