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这两道积分题有什么好的解决办法吗? 第1页

  

user avatar   la-la-la-4-25-46 网友的相关建议: 
      

这种积分好像叫 Coxeter's integral。

注意到:

转化成二重积分,需令 ,

二重积分 可以变成:

再令 , ,则继续化简可得:

利用了:

于是拆开:

前者可以简单求出,

我们现在要求这个积分:

我们修改一下方便操作:

其中 ,我们再令

这好像叫Ahmed's integral。

对于 ,即求 .

我们不难求得 的原函数是 ,故 .

解出:

积分一次~

对后者倒代换:

神奇的事情出现了!

解得:



user avatar   ysw-13 网友的相关建议: 
      

老题啦(゜ロ゜)

首先来计算三个式子


是显然的

现在我们便可以来求解第一个积分

( ps.

评论区有小伙伴问道上面倒数第二个等号怎么来的

在此补充一下

)

第二个积分也可以按照上诉方法来求解


当然我们也可以用含参积分法来求解

这个根号很令人讨厌 ,

所以我们先进行换元

于是

于是

原积分化为

对上式积分并注意到 即可得出结果.


仿照上诉思路,我们可将第二个积分化为

不难得出

我们要求

注意到第一个积分等于

第二个积分中置 便可推出



这类积分知乎上好像有人总结过了,可以看看他的文章




  

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