'如何计算该定积分? 第1页

谢邀，

1.Sonine-Schafheitlin公式

Jackson的经典电动力学里有一道混合边界条件的边值问题正好用到类似的积分公式

当初也稍微思考过，虽然没有完全证出来，但也得到了一些有意思的结果（见第2节、第3节）

Sonine-Schafheitlin 公式

针对 还需讨论上述积分的连续性，具体可以参看Watson, pp. 398 ff^[1]

先接受它成立，那么可以得到

令 ，即可得到题中所需计算的积分

2.提供一种简洁的解法

当然了，如果这题纯粹套公式那就没什么意思了。

其他五位答主都提供了很好的解答，在此我给出一种相对优雅的方法，

事实上，这题你甚至可以把原函数求出来，这也是我写这个回答的动机，

注意到：

令 ，那么上式紫色部分则转变为

于是原积分则转化为

利用贝塞尔函数在无穷远处的渐近公式

原积分可进一步化简为

于是最终的结果便得到了：

其中 的条件是为了保证积分收敛（也即原函数在 处非奇异）

3.进一步的结论

可以看到上述过程是非常简洁清晰的，也符合大部分物理系学生的一贯思路（直觉）

通过相同的方法，其实你还可以得到一些更有意思的结果

Hint:

用此方法能计算的含贝塞尔函数积分远远不止这一个，

另外上述计算方法也可推广到其他的柱函数；

考虑到篇幅还有时间原因，就不再补充了。

4.补充一些细节的证明

可能有人对这个式子有些困惑：

用两个贝塞尔函数的递推关系式就可以证明：

简单证一下，以下省略自变量 ，

注意红色和蓝色部分相互抵消。

Q.E.D.

参考

1. ^ http://archive.org/details/treatiseontheory00watsuoft/page/398/mode/1up?view=theater