如何估计这个级数？ 第1页

更新：数列的通项看起来找到了! 但这个数列在oeis上是找不到的呢。

数值结果暗示阶是 ，但是归纳法似乎难以实施

而且系数 似乎也暗示了什么…

实际上 , 我们将要展示一个很常用（以前甚至在高考模拟题中使用过）的估计这种求和大概的阶的技巧 , 虽没有阶写出来 , 但是经验上说与精确的阶只差一个 数量级 , 而且能解决题主的问题 , 请看 :

虽然求和的形式非常复杂 ,

但是我们却有一个几乎初等的简单方法 , 我们来看看这么多项里面最大的是哪个 .

补充 : 精确的阶要用到超几何级数的来估计 .

如果一项是最大的之一 , 它肯定不小于左右的项 , 怎么比较一个项和左右项的大小关系呢 ?

显然是看相邻项的比例 : 显然这个比值关于 是单调增的 .

它看起来比较齐次 , 我们可以先做一点简单的估计 : 大概看作是

于是 的时候大概是小于 的 , 的时候是大概大于 .

为了精确估计中间那几项 , 我们做一些计算 :

因为单增 , 精确等于 的点应该位于 内 .

因此分类讨论可知 时为

而 时 , 但是无论如何都只差一项 .

我们仅分析 时 , 由上讨论最大项是 , 这时可以运用我们熟悉的 :

一个很小的估阶技巧在于

与 的比值是多项式 , 故不需重新用 就能得到精确的阶

用 来计算是因为可以消掉很多东西 , 而剩下三者的估计就留给感兴趣的读者 .

其中余项 在 时成立 .

由此

其中 是一个常数 , 在 时成立 .

于是就没有任何困难了 :