什么是高等数学？ 第1页

简单地说，初等数学处理的都是有限，而一旦涉及对无限的讨论，就进入高等数学了。

极限，是对无限过程的刻画。

• 先定义数列极限，即一种离散的逼近方式；
• 有了极限，就可以对级数收敛性进行研究，因为级数可以看作部分和序列的极限；
• 由海涅定理，可以通过数列逼近来理解连续过程，从而引出连续函数的定义，连续函数本质上就是将一个柯西列，映射为另一个柯西列的函数。
• 在费马时代，考虑以割线来逼近切线的思想已经初露端倪，这一极限过程就是导数。
• 阿基米德很早就靠微分、积分的思想求得了球体积公式，从定积分的定义可以看出，定积分本身也是一种极限：将积分区间充分分割时，如果对函数在每个小区间上的波动求和，结果是一个无穷小，那么函数可积。这是一个有限和逼近无限和的过程。
• 由牛顿-莱布尼兹公式可知，微分和积分实际上是互逆的运算；

……

这些概念都是高等数学最核心的概念，覆盖了教科书中至少 90% 的内容，其他的概念无不都是从这些概念引申而来。并且在上面叙述中，每个概念本身也存在着千丝万缕的联系，这些内容没有一个不是对无限的讨论。