初等数学并不能严格定义自然数、整数、有理数、实数等，可为什么能用初等数学方法证明根号 2 是无理数？ 第1页

初等数学中有一些隐含的先验假定，比如自然数构成一个交换半环（满足加法结合律，加法交换律，乘法结合律，乘法交换律，乘法分配律）。在这个基础上证明根号2是无理数足够了。

其实很多人都不知道，所谓的希帕索斯发现了根号二为无理数，并不是完全像我们今天这样先用整数之比定义有理数，然后证明使得平方等于二的那个数字不能被写成两个整数之比。而是用几何证明的。

用当时的语言体系，应该是任何两个数字，都是可公比的。

这是什么意思呢？就是说，任何两个数字，如果我反复对他们做辗转相减，那么一定在某个时候（有限步之内），某一个数字会变成0。

有人会反应过来，这不就是求两个数字的最大公约数嘛！对，所以这个信条翻译一下，就是任何两个数字，一定有一个有限小（不管多小但是有限）的单位，使得它们两个都是这个单位的整数倍。

又因为整数1天然存在，所以1可以和任何数字公比，所以任何数字x和1可以表示为一个共同单位的p和q倍，换言之就是 。

好，那么这样我们就知道了，其实希帕索斯当年做的，并不是我们熟知的从 没有整数解证明根号二不是有理数的，而是用几何的方式显性的做辗转相减的事情。

什么意思呢？从一个正方形出发，我们先用一个圆弧把对角线AC减去一条边的长度AB，并且留下剩余长度PC。