sinx无限嵌套的图像到底会怎么样? 第1页

补充一下其他答主的回答：

由于正弦函数在0～π/2的单调性，且sinx≤x，再结合其奇函数的对称性，

可知：

嵌套函数的第n层最大值必然小于第n-1层最大值。当n→∞，Xₙ=sin(Xₙ₋₁)迭代的函数图像必然收敛于x轴（见下图）。

其需要注意的是无论迭代次数是几次，图像在x=nπ（n∈Z）处的导数恒为1或-1，

极限并非为0，也就是函数看似水平，实际永远均匀分布着斜坡！！

这个古怪的结果其实不难理解，是很基础的复合函数求导：

又因

则

根据周期性、连续性、奇偶性可知：

所以，这个迭代函数极限的图像并不是真的变成x轴，只是趋近，他依然有斜率，就好比三体人造的水滴，看似无穷光滑，但在量子物理角度来看只是中子简并物质，而不是彻底光滑！！

我们可以想办法放大这个斜率！！

我们不妨给每层函数再乘一个系数b，取b=1/sin(1)，这样就恰好能使每一层函数最大值都保持在1（最小值保持在-1），于是我们可以看到迭代足够做多次的图像为：

不严谨的结论：

Xₙ=b·sin(Xₙ₋₁)迭代的函数图像极限是方波，其中b不应小于等于1/sin(1)，这种逼近方波的方式收敛速度较快，起码比烂大街的傅里叶级数前n项和要快很多。

以下是对于【b倍的正弦函数迭代极限为方波】这个一结论粗略的证明：

那么x=nπ处的导数自然为：

无穷大的斜率是符合方波特征的。

而迭代函数在x≠nπ处的导数为：

其中， ，

且

前文已经取 ，

则可知：

（当i足够大时即可）

nπ处斜率极限无穷大，其他地方斜率极限是0，显然符合方波的几何特征。

但是由于单峰映射（逻辑斯蒂映射）的分形与混沌性质，b也不能过大，否则迭代结果会从单周期分裂为二周期、四周期……直至混沌。（如下图，给b乘上一个系数c，来观察图像随着b·c如何变化）

在此后，混沌和分形会规律地交替出现（如下图）

处于稳定的阶段时，函数的最值与b·c成正比，以下是迭代的分叉图，图中的β即本回答的b·c系数：