高考数学导数题是怎么命制的？ 第1页

这题我会！！

一、

首先注意到函数 的最小值为 ，当且仅当 时取到；函数 的最大值为 ，当且仅当 时取到.

这时候，请你证明不等式： ，这不是有手就行？

那就加强一下吧，两边同乘 ，得到 ，嘿嘿，这看起来就有难度了吧！

但是导数题还要有个第一问送分，那就顺便考一下导数的几何意义吧：令 LHS 为一个新的函数，再弄两个参数 ，即 . 跟上面的不等式对照一下，可以知道 . 那只需要给出曲线 在 处的切线方程，就可以求出 和 了呗！

于是一道导数压轴题就弄出来了：

设函数 ，曲线 在 处的切线方程为 .
（1）求 ；（2）证明： .

这道题就是 2014 年全国一卷理数的第21题。

二、

那天，出题老师做了一个梦——

梦里，一个函数在出题老师面前，卖弄它优雅的曲线，让出题老师神魂颠倒。我们姑且叫她 。

可是，正当出题老师欣赏着这美妙的函数时，一个不等式 却如雷电一般，让出题老师从梦中惊醒。

醒来的他意识到，这是上天的旨意。这个函数和这个不等式，将会决定数十万人的命运。

出题老师反复思考，得到了这个问题：若当 时， 恒成立，求正实数 的取值范围。

有点简单，那就给参数 换一下元。令 ，问题变成：若当 时， 恒成立，求正实数 的取值范围。

再代入 的表达式，得到 .

两边约掉一个 ，再同乘一个 ，得到 ，

对 RHS 稍微变个型，就得到 ，

再移项，得到 ，右边是一个常数，那么可以令函数 ，当 时有 ，求实数 的取值范围.

再随便搞个第一问送分，考一考导数的几何意义吧。题目就出完了。

已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 ，求 的取值范围.

这就是 2020 年新高考一卷（山东卷）的导数题。

三、

有时候出导数题，不用整太多花里胡哨的东西。从基本初等函数和它们之间的关系入手，也能提出很多有趣的问题。

比如，观察指数函数 和二次函数 在 上的图像，

随着 的变化，这两个图像的交点数可能有 0 个、1 个或 2 个。显然，恰有一个交点是临界情况。这是可以提出一个简单的问题：当 为何值时，曲线 与曲线 在 上恰有一个交点？

根据函数图像的交点、函数的零点以及方程的根三者之间的等价性，可以把这个问题出成这样：

已知函数
（1）当 时，证明：当 时， ；
（2）若 在 只有一个零点，求 .

这就是 2018 年全国二卷理数的第 21 题。

四、

我们在小学二年级就曾学过，如何判断一个级数的收敛性。

考虑级数 ，翻开同济版高等数学第七版下册的第十二章，容易证明这个级数是收敛的。但我们还想求出这个级数收敛于什么值，这个问题就交给高考生来解决吧。（其实这个值求不出来，所以我们来估计范围就好了）

已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）设 为整数，且对于任意正整数 ， ，求 的最小值.

这就是 2017 年全国三卷的理数 21 题。

（如果有人想看，后面还会更新哦~）