什么情况下比值判别法失效？ 第1页

谢邀。

符号说明

• 余和：
• 代表一般级数 的通项
• ，表示存在与 无关的正常数 ，使得：

• 表示正常数

思路

级数，从最本质的观点看，就是部分和 这个数列的极限。试想，一个数列逼近其极限的方式何其丰富，甚至前 N 项都可以没有任何规律可言。不过，一个数列收敛是与前 N 项无关的；一个容易为人所忽视的级数收敛的充要条件——余和 趋于0（显然这与Cauchy收敛原理是等价的），而我们所学的一切判别法其实就是在描述余和以怎样的速度收敛到0.

我们最熟悉关系式： ，而余和也有与之对偶的关系：

所以，我们能构造出多少种余和 ，就能立即得到多少种收敛级数 ；那么，我们沿着这个思路，看看都能构造哪些收敛的级数.

常见绝对收敛级数

我们将以余和 作为收敛级数作为划分依据，借由 式，列之如下：

①

这个级数就不用多说什么了吧，从小到大经常被“裂项”的就是它！

更一般地，若

令 ，这就是我们最熟悉的 p-级数判别法. 下面我们试试其他类型的余和——

②

等比级数是根式、比值判别法的主角.

我们试试对数函数——

③

更一般地，若

由二项式定理：

代入最后可知

令 ，这是另外一个非常重要的判别收敛的级数. 类似地，当

进一步推广，设

需要说明一下符号： 表示对数函数的 m 层嵌套. 于是通过简单的计算可得，

按照此构造法，我们永远可以构造出以更慢的方式收敛的余和，那么所得到的判别标准无限精细……

级数收敛判别法

通过与上述我的级数相比较，我们可以使用比较判别法得到级数的收敛性，这个就不用多说了. 判别的另外一种思路：我们能否不借助别的级数，而只是对自身通项进行分析得到结果——这也是我们常用的判别法的思路.

不过常见的判别法基本上都是与等比级数比较，比如

• 比值判别法

• 根式判别法

对于等比级数的通项 ，

所以当某级数通项 满足：

那么自然也就有：

我们知道 时级数收敛. 这样看感觉上根式判别法和比值判别法似乎是等效的，因为它们都是在求级数的广义上的公比 （或者称指数增长率） ，但实际上，根式判别法较比值判别法更强一点，这个我就不展开谈了。

• 对数判别法

若某级数通项满足：

那么

当 时，级数收敛.

总结

可见余和是一种一以贯之的理解方法.

另外，又有 Ermakov 判别法，也是一个理解级数敛散性的思路，我打算以后有机会在我的专栏补充.