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是否存在一个「无法判定为有理数或无理数」的实数? 第1页

  

user avatar   liandaokewen 网友的相关建议: 
      
谢邀。
你问的问题表面看似乎很简单,实际上很深刻。
而且涉及很多公开未解决的问题。

1. 无理数与超越数

首先按照有理数,无理数的定义,任何一个实数必然要么是有理数,要么是无理数。

但是到具体的一个数到底是有理数还是无理数,这需要数学家们的努力工作才能完成

这个道理,就像我给你一张卷子全部是判断题。我告诉你每道题要么填对要么填错。

但是至于每一道具体的题目,到底是对是错,这需要做试卷的人去努力才能做出来。

这里稍微再介绍两个概念超越数与代数数。

能表示成整系数多项式的根的实数叫代数数,这等价于能表示成有理系数多项式的根。

不是代数数的实数叫超越数,

比如π和e.

当然,每个有理数都是代数数,于是超越数就一定是无理数。

有些证明实数无理性的方法,就是通过证明其为超越数。

2. 与超越数有关的公开问题

比较难一点的,已经被证明的超越数有

但是像 和欧拉常数 这些数的超越性都是公开问题,而且尽管我们坚信这些都是超越数,实际上连他们是不是无理数都是公开问题。

稍微聊下e和π的和 .

假设 两者都是有理数。

则g(x)就是一个有理系数多项式,而他们的根e和π是超越数。

这由超越数的定义得到矛盾,于是 两者中必有一个无理数。

即使如此,我们依然还是不能证明他们到底哪个或者全部是无理数。

即这是公开问题,尽管我们的直觉让我们坚信他们两个都是超越数。


另外,我们已经知道,从个数的角度看,

代数数跟有理数的个数和正整数是一样的,都是可数个,而超越数跟无理数的个数都跟实数一样多。

因此超越数是无处不在的,用测度的语言来说就是:

在实数上几乎处处都是超越数。

而现实的情况是,有大量从直观上我们坚信它是超越数的实数,我们还无法证明其超越性

你心理上是不是不太好接受?

就像暗物质充斥着整个宇宙,而我们却对她知之甚少!

更多有意思的数学可以看看:

以上这些内容就是数论的一个分支超越数论要研究的内容。

3. 数理逻辑

如果你真的就是严格的指,

是否存在一个实数,无法判断其是有理数还是无理数?

那你这个问题实际上离上面的超越数论这些分支已经很远了。

你这个是一个更加靠近纯逻辑的问题,是数理逻辑研究的范围。

著名的哥德尔不完备定理:

任何兼容的形式系统,只要蕴涵皮亚诺算术公理,就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题,因此通过推演不能得到所有真命题(即体系是不完备的).

即,的确是存在逻辑上无法证明的真命题。

如果你往这方面想的话,那跟你的具体什么无理性问题根本就没有关系了,任何一个公开未解决的证明问题都可以这样想,比如黎曼猜想,哥德巴赫猜想

但是这个对你在解决某个具体的数学问题的时候是没有帮助的。

有时候甚至是有害的,因为你证明不出来,你就会侥幸地想是不是这个问题就是哥德尔不完备定理中的“那个”

安德鲁.怀尔斯在证明费马大定理严重受挫时就曾经为了给自己一个台阶下,让自己放弃跟自己达成和解,就曾经这么想过。

后来他坚持下来了,总共花了7年时间,终于证明了费马大定理。

4. 如何问一个好的问题

如果你对实数好奇,想知道哪些是有理数,哪些是无理数,哪些是代数数,哪些是超越数,那么你这样问问题就不是一个好的方式

因为你已经偏离了实数理论或者说超越数论,你走进了数理逻辑。

你可以直接问:

基本上,没有一个超越数论的研究人员为了解决上述问题而跑到哥德尔不完备定理那里去

目前它是公开问题,不代表它就无法被证明。

实际上,有很多数学家已经在一个很大的次数和很大的整系数范围内的多项式方程都验证过了,不可能有 这个根。

因此大家坚信它是超越数是有依据的,这个最终被证明是超越数只是时间问题。

就像哥德巴赫猜想一样,很多数学家已经对足够大(超过物理上需要的最大的数)的整数都验证过其正确性了。

所以大家坚信哥德巴赫猜想是正确的,如果在物理上,这样的内容早就被称为定律,原理之类而不是猜想了。

所以它被证明需要时间,但是不代表它无法被证明。

因此,问问题本质上也是有目的的,不能太泛,你要设计好使得能达成你的目的。

比如你对实数或者超越数感兴趣,那你得往这个方向走。

当然,如果你对数理逻辑感兴趣,那你可以用数理逻辑的语言来问问题。


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可以证明:不存在一个方法能判断任意实数是否是有理数

任何实数,都相对于一台枚举机,枚举机是图灵机的一种,其功能是不断的输出一个实数的各个数位

同样,我们可以构建一个算法,将停机问题等价于一个“实数有理想判断问题”:

通用图灵机上的任意一个程序,将其在纸带上打印的数视为一个实数,比如一台图灵机运行时,在纸带上打印:

1

01

011

001

……

我们将纸带上不断出现的这些数整理成一个实数的各个数位:0.1 01 011 001……

如果我们能判断这个实数是否是有理数,就能判断这台图灵机是否会停机。

根据停机问题,不存在一个程序能判断出任意程序是否能停机,所以,不存在一个方法能判断任意实数是否是有理数


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我是一名基层派出所民警。

可以说当今中国警察普遍羡慕美国警察可以采取暴力手段绝对的镇压不法分子。

但是,不得不说,这次这位美国警察,太过分了,不仅是过分,而且我的理解是那已经构成了犯罪行为。那黑人已经制服了就可以正常上拷带走了,没必要一直压着脖子压那么长时间。没能置身其中不知现场那美国警察的所思所想,反正我个人挺不理解他为啥那样干的。

只能说无论什么地方,无论什么行业,只要是人的社会,都有像样的也有操蛋的吧。

_________此处为分割线 _________

以下为统一答复评论中有些人质疑的我所讲的羡慕二字。

能够出现这种质疑在我料想之中,因为中国警察也有过过分的时代,据我所知就是在七十八十九十年代,就如同地痞流氓,看谁不顺眼就能打谁对老百姓而言没王法可讲,那时候的警察说好听点可以说是威风凛凛说难听点儿是横行霸道。

但我想表明的是,时过境迁,现在的中国警察无论是受舆论约束还是因为法治社会建设制度规范都已经变得逐步文明与规范起来,起码我认为从我们现在开始从公安司法院校毕业参加公务员考试考进来的新一代警察已经具备新的面目,当然不可否认的是在这个行业内目前仍然存有历史的顽疾,仍然存在着臭虫,但我已经讲过无论什么行业都有操蛋的吧,这是个人问题,不是群体问题。相比之下,拍拍良心看,现在的整个警察队伍比照曾经确实过分的年代是不是已经是天地之别,问问曾经真正挨过曾经年代老警察欺负的中老年人就知道了。

为何会说起羡慕,因为警察每天面对的人群,大多是三教九流之辈,没有武力加身,很多事情在处理上警察显得软弱无能,说白了,好人谁没事儿上派出所转悠啊都忙着自己的生活呢,警察打人这句话,我们常常听到,但是但凡有点脑袋的人都能想明白,警察会闲着没事儿干把那在家里消停待着的遵纪守法的人抓起来暴揍一顿吗?

以上言辞不免更会有人质疑,请允许我解释,武力,当然不可滥用,我所说的羡慕不是羡慕美国警察的随意滥用武力,而是在合法范围内准许在对方不听从警察指令时动用武力,现在确实有人民警察法赋予了相关权力,但实践中现在的中国警察并不能或者说不敢执行人民警察法里的所有权力。拿防疫工作举例,卡口的工作人员在让出入的人员扫码登记时,就会有不愿意配合的人,然而这些不愿意配合的人可会知道工作人员的所做所为是为了整个社区的稳定安全,因为这整个社区包括了这名不愿意配合的人啊,在这个时候是否应当对其进行武力控制来保障其他居民的安全呢。同理,警察盘查也好,调查也好,总会有那些不愿意配合的人,自我感觉良好认为自己没问题所以警察不必要对其进行盘查所以就不配合,而警察当看到对方不配合时会以什么视角审视,难道要说谢谢您的不配合吗,万一这不愿配合的人真背着案子呢,那便是对更多的人民群众的不负责任。因此,我要说,民众的素质如果真正达到了人人互相敬重路不拾遗夜不闭户的文明程度,要求警察绝对文明不要有暴力举动,一点问题没有,一味强调了警察不该暴力执法而分毫不过问被执法对象自身是否存在问题,是不是看问题的角度些微的片面了些。

请注意,我说羡慕里的那句话尾巴实际已经表明了,羡慕的是暴力手段对不法分子的镇压,可不是对遵纪守法的百姓也要肆意妄为。例如像给群众办个身份证居住证之类的业务,警察当然应该热心服务。但当面对泼皮无赖时,还要笑脸相迎,得来的只有蹬鼻子上脸,警察都不怕了,您们认为这些无赖还有谁管得了。

列位存有异议的同志们,谢谢您们的教诲。言辞中犀利的同志们,谢谢您们的敦促。

让我知道当警察,需要吾日三省吾身。

还想要质疑甚或是骂的您们,若是能让您舒服,骂两句无妨。我不算您辱骂警察。不过是,道不同不相为谋罢了吧。

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2020年6月5日22:53 出警在路上




  

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