为什么度量空间中聚点等同于极限点？ 第1页
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a为A的聚点：任意a的邻域都有A中除a以外的点。这个定义一般没啥问题。
关键的问题，a为A的极限点，怎么定义的？绝大多数的教材的定义方式与a为A的聚点的定义方式是一样的。但是我猜题主的理解的极限点是这样定义的：
a为A的极限点：存在A中的一个元素都不为a的序列a_{n}，它收敛于a。元素都不为a的目的是为了排除掉那些A的孤立点。
这种理解下，极限点肯定都是聚点。但是反过来不对，聚点未必能找到一个序列来逼近。比如说实数集R的不可数次幂，用乘积拓扑，A为除有限个分量外每个分量都取1的子集。那么每个分量都为0的元就是A的聚点，但是你不可能在A中找到序列收敛于它。（正因为如此所以才会引入网收敛及滤子收敛这种概念来扩充序列收敛）
当然如果是第一可数空间（度量空间都是第一可数的），两个概念就一致了。因为每个点都有可数邻域基了，这时如果a是A是聚点，就可以在每个a的可数邻域基的每个邻域中，取出A中不同于a的一点，这就是造出了A中收敛于a的但又不是a序列。
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