如何证明 不存在两个有理数a、b，使得 a＋√b=³√2？ 第1页
1
ling-jian-94 网友的相关建议:
本质上是个数域相关的问题，但是 这种形式有个很标准的做法，就是凑个共轭根式 ，然后形成一个二次方程
则若存在这样的a和b，则
是这个二次方程的根。熟悉数域理论的自然会发现已经矛盾了，不过我们不用数域理论，而是直接推导一个矛盾出来：
我们知道 也是 的根，那么我们将前面的二次方程两边乘以x得到：
代入 整理
再把第一式乘以2a：
两式相减：
如果 不为0，则x一定是个有理数，而我们显然知道 不是个有理数
（如果一定要证明，可以设 为既约分数，则 ，得到p和q都是2的倍数，矛盾）
因此必须有
代入得到
显然不存在这样的有理数（证明同前面的 ），矛盾
实际上上面的过程就是做了一个多项式的带余除法，即
可以看出，一个三次方程和一个二次方程的公共根的问题，和多项式的分解密切相关，它们有公共根的情况只有两种：要么有一个公共的一次有理多项式因子，要么三次方程能除尽这个二次方程。而 这样的多项式在有理数域里是不可约的，因此也就不可能和一个有理系数二次方程有公共的根。这样的思路最终就可以导出数域的概念。
plel 网友的相关建议:
这是我看到的最准确的总结。
总的来说，就是中国的高考相对公平，所以性价比极高，所以其他活动都可以适当让步。
1
相关话题
我感觉我对数学的求知欲在下降，怎么办？如何把微信群/QQ群构造成一个阿贝尔群？
如何求解（似乎是开放问题）级数（如下）？
在开区间上无界的连续函数一定不一致连续吗？
成为一个数学家有多难？
如何用数学卖个萌？
为什么人类想象不出四维的空间？
如何评价数学家张益唐？
999的99次方是什么概念？
大一数学分析学习是偏证明还是偏计算？
前一个讨论
质量是怎么转变成能量的？
下一个讨论
条件概率属不属于随机变量？为什么？
相关的话题
皮尔逊系数为什么要中心化？中心化之后有什么好处？数学上所有运算都能回到四则运算么？
人有什么是可以无限的？
为什么部分大一学生认为线性代数听不懂？
有没有两个不相等的数 a 和 b，满足 a 的 b 次幂等于 b 的 a 次幂？
微积分学教程是否适合工科学生提高数学水平？
7 x 8 + 14 x 18 + 42 × 13 的简便运算方法？
如何在冰雹猜想上做出点成绩?
数学和英语是不是高中最难的科目？
阿基里斯和乌龟的悖论真的不能用常规逻辑推翻吗？
是否大于等于5的质数都能写成质数+质数+1？
如何计算一组三维空间角度数据的方差（或者说离散程度）？
为什么能够研究高维几何?
为什么条件收敛的级数重排后，即使收敛，也不一定收敛于原来的级数和？
2+2为什么等于4而不是22，加号的本质是什么？
行列式的本质是什么？
拉氏乘数法中为什么认为最值一定是极值呢？
为什么中国人数学这么牛，却几乎没有中国人发现的数学定理？
张益唐九几年在美国过得那么苦逼为何不选择回国拿当时高达几百块RMB的月薪，回国没有更好的研究条件吗？
《JoJo的奇妙冒险 2》中大结局里卡兹被岩浆喷上外太空是否科学？
小学奥数可以难到什么程度？
哪个整系数多项式方程的根是 √2 + √3 + √5，如何得到这个方程？
整数和偶数真的是「一样多」的吗？（我知道康托尔那套，但这个表述真的正确吗？）？
这个数列问题困扰我一段时间，大佬有没有好的方法呢？
如何评价2019年高考全国卷数学?
如何用正规方法求解该题？
李煌的阶乘计算小技巧，与斯特林公式有什么区别？
对于随机抽取的情况，概率最大值总是在数学期望附近取到，这是一个定理吗？
e 是怎么算的？
为什么规定 0 的阶乘为 1？